初值定理

在數學分析中，初值定理是將時間趨於零時的頻域表達式與時域行為建立聯繫的定理^[1]。

它簡稱為IVT。

令

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$

為 ƒ(t) 的（單邊）拉普拉斯變換。初值定理表明^[2]

${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t)=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.\,}$

證明

基於導數的拉普拉斯變換，我們有：

${\displaystyle sF(s)=f(0^{-})+\int _{t=0^{-}}^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt}$

因此：

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }sF(s)=\lim _{s\to \infty }\left[f(0^{-})+\int _{t=0^{-}}^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]}$

但在 t=0⁻ 到 t=0⁺ 之間，${\displaystyle \lim _{s\to \infty }e^{-st}}$ 是不確定的；為了避免這種情況，可以通過對兩段區間分別積分求得：

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }\left[\int _{t=0^{-}}^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]=\lim _{s\to \infty }\left\{\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left[\int _{t=0^{-}}^{\epsilon }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]+\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left[\int _{t=\epsilon }^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]\right\}}$

在第一個表達式中 0⁻<t<0⁺, e^−st=1。在第二個表達式中，可以交換積分和取極限的次序。同時在 0⁺<t<∞ 時 ${\displaystyle \lim _{s\to \infty }e^{-st}(t)}$ 為零。故：^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{s\to \infty }\left[\int _{t=0^{-}}^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt\right]&=\lim _{s\to \infty }\left\{\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left[\int _{t=0^{-}}^{\epsilon }f^{'}(t)dt\right]\right\}+\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{t=\epsilon }^{\infty }\lim _{s\to \infty }\left[e^{-st}f^{'}(t)dt\right]\right\}\\&=f(t)|_{t=0^{-}}^{t=0^{+}}+0\\&=f(0^{+})-f(0^{-})+0\\\end{aligned}}}$

通過用這個結果在主方程中進行代換就得到：

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }sF(s)=f(0^{-})+f(0^{+})-f(0^{-})=f(0^{+})}$

參見

• 終值定理