終值定理

在數學分析中，終值定理（Final Value Theorem, FVT）是將時間趨於無窮時的時域表達式與頻域行為建立聯繫的許多定理之一。終值定理允許直接對頻域表達式取極限來計算時域行為，無需先轉換到時域表達式再取極限。

在數學上，如果

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$

有一個有限極限，那麼

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$

其中 ${\displaystyle F(s)}$ 為 ${\displaystyle f(t)}$ 的（單邊）拉普拉斯變換。^[1][2]

同樣，在離散時間中

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f[k]=\lim _{z\to 1}{(z-1)F(z)}}$

其中 ${\displaystyle F(z)}$ 為 ${\displaystyle f[k]}$ 的Z轉換。^[2]

證明

通過對導數的拉普拉斯變換定義積分得：

${\displaystyle \lim _{s\to 0}\int _{0}^{\infty }{\frac {df(t)}{dt}}e^{-st}dt=\lim _{s\to 0}[sF(s)-f(0)]}$

如果右側的無窮積分存在，則積分的極限可以寫作極限的積分，因此：^[3]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\lim _{s\to 0}{\frac {df(t)}{dt}}e^{-st}dt=\int _{0}^{\infty }df(t)=f(\infty )-f(0)}$

通過令上面兩個等式的右側相等，兩邊同時消去 f(0) 得：

${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}[sF(s)]}$

終值定理成立的例子

例如，一個傳遞函數為

${\displaystyle H(s)={\frac {6}{s+2}},}$

的系統，脈衝響應收斂於

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }h(t)=\lim _{s\to 0}{\frac {6s}{s+2}}=0.}$

即系統在受到一個短暫的脈衝後回歸零值。而單位階躍響應的拉普拉斯變換為

${\displaystyle G(s)={\frac {1}{s}}{\frac {6}{s+2}}}$

因此，階躍響應收斂於

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }g(t)=\lim _{s\to 0}s{\frac {1}{s}}{\frac {6}{s+2}}={\frac {6}{2}}=3}$

於是一個零狀態系統會按照指數增長到終值3。

終值定理不成立的例子

然而，對於傳遞函數為

${\displaystyle H(s)={\frac {9}{s^{2}+9}},}$

的系統，終值定理似乎預測脈衝響應的終值為 0 而階躍響應的終值為 1。但是時域極限不存在，所以預測沒有價值。事實上，無論脈衝響應還是階躍響應都會振盪，並且（在這種特殊情況下）終值定理描述的是響應震盪的平均值。

在控制理論中有兩種檢驗終值定理結果有效性的方法：

1. ${\displaystyle H(s)}$ 使分母為零之所有非零根的實部必須為負值。
2. ${\displaystyle H(s)}$ 在原點處不能有多於一個極點。

這個例子不滿足規則1，因為分母為零的根為 ${\displaystyle 0+j3}$ 和 ${\displaystyle 0-j3}$。

參見

• 初值定理
• Z轉換
• 拉普拉斯變換