初等矩陣

線性代數中，初等矩陣（又稱為基本矩陣^[1]）是一個與單位矩陣只有微小區別的矩陣。具體來說，一個 n 階單位矩陣 E 經過一次初等行轉換或一次初等列轉換所得矩陣稱為 n 階初等矩陣。^[2]

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

操作

初等矩陣分為3種類型，分別對應著3種不同的列/行轉換。

兩列（行）互換：

${\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}$

把某列（行）乘以一非零常數：

${\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ }$其中${\displaystyle k\neq 0}$

把第 i 列（行）加上第 j 列（行）的 k 倍：

${\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i}}$

初等矩陣即是將上述 3 種初等轉換應用於一單位矩陣的結果。以下只討論對某列的轉換。

列互換

此轉換 T_{i j} 將單位矩陣的第 i 列的所有元素與第 j 列互換。

${\displaystyle T_{ij}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&&\\&&1&&0&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad }$

性質

• 逆矩陣即自身：${\displaystyle T_{ij}^{-1}=T_{ij}}$。
• 因為單位矩陣的行列式為1，故 ${\displaystyle \det T_{ij}=-1}$。對所有階數相同的方陣 A 亦有以下性質：${\displaystyle \det T_{ij}A=-\det A}$。

把某列乘以一非零常數

此轉換 T_i(m) 將第 i 列的所有元素乘以一個非零常數 m。

${\displaystyle T_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad }$

性質

• 逆矩陣為 ${\displaystyle T_{i}(m)^{-1}=T_{i}({\frac {1}{m}})}$。
• 此矩陣及其逆矩陣均為對角矩陣。
• 其行列式 ${\displaystyle \det T_{i}(m)=m}$，故對所有階數相同的方陣 A 都有 ${\displaystyle \det(T_{i}(m)A)=m\det A}$。

把第 i 列加上第 j 列的 m 倍

此轉換 T_{i j}(m) 將第 i 列加上第 j 列的 m 倍，其中 m 為第 i 行第 j 列的元素。

${\displaystyle T_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&\ddots &&&&\\&&m&&1&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

性質

• 逆矩陣具有性質 ${\displaystyle T_{ij}(m)^{-1}=T_{ij}(-m)}$。
• 此矩陣及其逆矩陣均為三角矩陣。
• 其行列式 ${\displaystyle \det T_{ij}(m)=1}$，故對所有階數相同的方陣 A 有 ${\displaystyle \det(T_{ij}(m)A)=\det A}$。

應用

在解線性方程組中的應用

初等行轉換不影響線性方程組的解，也可用於高斯消去法，用於逐漸將係數矩陣化為標準形。初等列轉換不改變矩陣的核（故不改變解集），但改變了矩陣的像。反過來，初等行轉換沒有改變像卻改變了核。

用於求解一個矩陣的逆矩陣

有的時候，當矩陣的階數比較高的時候，使用其行列式的值和伴隨矩陣求解其逆矩陣會產生較大的計算量。這時，通常使用將原矩陣和相同列行數的單位矩陣並排，再使用初等轉換的方法將這個並排矩陣的左邊化為單位矩陣，這時，右邊的矩陣即為原矩陣的逆矩陣^[3]。

另見

• 高斯消去法
• 線性方程組
• 矩陣