前推 (微分)

本文考慮微分幾何中的前推算子，由光滑流形間的光滑映射的微分誘導。關於術語「前推」在數學中的其他使用，參見前推。

假設 ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ 是光滑流形之間的光滑映射；則 ${\displaystyle \phi }$ 在一點 ${\displaystyle x}$ 處的微分在某種意義上是 ${\displaystyle \phi }$ 在 ${\displaystyle x}$ 附近的最佳線性逼近。這可以視為通常微積分中全導數的推廣。確切地說，它是從 ${\displaystyle M}$ 在 ${\displaystyle x}$ 處的切空間到 ${\displaystyle N}$ 在 ${\displaystyle \phi (x)}$ 處的切空間的一個線性映射，從而可以將 ${\displaystyle M}$ 的切向量「前推」成 ${\displaystyle N}$ 的切向量。

映射 ${\displaystyle \phi }$ 的微分也被一些的作者稱為 ${\displaystyle \phi }$ 的導數或全導數，有時它自己也之稱為前推（pushforward）。

動機

設 ${\displaystyle \phi :U\rightarrow V}$是從 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 的一個開集 ${\displaystyle U}$ 到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的開集 ${\displaystyle V}$ 的一個光滑映射。對任何 ${\displaystyle U}$ 中的給定點 ${\displaystyle x}$， ${\displaystyle \phi }$ 在 ${\displaystyle x}$ 的雅可比矩陣（關於標準坐標）是 ${\displaystyle \phi }$ 在 ${\displaystyle x}$ 的全微分的矩陣表示，這是一個從 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的線性映射：

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}\ .}$

我們希望將其推廣到 ${\displaystyle \phi }$ 是「任何」兩個光滑流形 ${\displaystyle M}$ 與 ${\displaystyle N}$ 之間的光滑映射。

光滑映射的微分

令 ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ 是光滑流形間的光滑映射。給定某點 ${\displaystyle x\in M}$，${\displaystyle \phi }$ 在 ${\displaystyle x}$ 的微分或（全）導數是從 ${\displaystyle M}$ 在 ${\displaystyle x}$ 的切空間到 ${\displaystyle N}$ 在 ${\displaystyle \phi (x)}$ 的切空間一個線性映射

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\ ,}$

映射 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi _{x}}$ 運用到切向量 ${\displaystyle X}$ 上有時稱為 ${\displaystyle X}$ 由 ${\displaystyle \phi }$ 的前推。前推的確切定義取決於我們怎樣定義切向量（不同的定義可參見切空間）。

如果我們定義切向量為通過 ${\displaystyle x}$ 的曲線等價類，那麼微分由

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0)}$

給出，這裡 ${\displaystyle \gamma }$ 是 ${\displaystyle M}$ 上滿足 ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ 的一條曲線。換句話說，一條曲線 ${\displaystyle \gamma }$ 在 0 處切向量的前推恰好是 ${\displaystyle \phi \circ \gamma }$ 在 0 處的切向量。

另一種方式，如果切向量定義為作用在光滑實值函數上的導子，那麼微分由

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi )}$

給出，這裡 ${\displaystyle X\in T_{x}M}$，從而 ${\displaystyle X}$ 是定義在 ${\displaystyle M}$ 上的一個導子而 ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle N}$ 上一個光滑實值函數。根據定義，在給定 ${\displaystyle M}$ 上 ${\displaystyle x}$ 處 ${\displaystyle X}$ 的前推在 ${\displaystyle T_{\phi (x)}N}$中，從而定義了一個 ${\displaystyle N}$ 上的導子。

取定 ${\displaystyle x}$ 與 ${\displaystyle \phi (x)}$ 附近的坐標卡以後，${\displaystyle F}$ 局部由 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 與 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 之間的光滑映射

${\displaystyle {\hat {\varphi }}:U\rightarrow V}$

確定。而 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi _{x}}$ 具有表示（在 ${\displaystyle x}$ 附近）：

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial u^{a}}}{\Bigr )}={\frac {\partial {\hat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},}$

這裡使用了愛因斯坦求和約定，偏導數對 ${\displaystyle x}$ 坐標卡相應的 ${\displaystyle U}$ 中的點取值。

線性擴張得到如下矩陣

${\displaystyle (\mathrm {d} \varphi _{x})_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\hat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.}$

從而光滑映射 ${\displaystyle \phi }$ 在每一點的微分是切空間之間的一個線性變換。從而在某些選定的局部坐標下，它表示為相應的從 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 光滑映射的雅可比矩陣。一般情形，微分不要求可逆。如果 ${\displaystyle \phi }$ 是一個局部微分同胚，那麼在 ${\displaystyle x}$ 點的前推是可逆的，其逆給出 ${\displaystyle T_{\phi (x)}N}$ 的拉回。

另外，局部微分同胚的微分是切空間之間的線性同構。

微分經常有其他一些記法，比如

${\displaystyle D\varphi _{x},\;(\varphi _{*})_{x},\;\varphi '(x)\ .}$

從定義可得出複合函數的微分便是微分的複合（即，具有函子性質），這便是光滑函數微分的鏈式法則。

切叢上的微分

光滑映射 ${\displaystyle \phi }$ 的微分以顯而易見的方式誘導了從 ${\displaystyle M}$ 的切叢到 ${\displaystyle N}$ 的切叢的一個叢映射（事實上是向量叢同態），記為 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi }$ 或 ${\displaystyle \phi *}$，滿足如下的交換圖表：

這裡 ${\displaystyle \pi _{M}}$ 與 ${\displaystyle \pi _{N}}$ 分別表示 ${\displaystyle M}$ 與 ${\displaystyle N}$ 切叢的叢投影。

等價地（參見叢映射），${\displaystyle \phi *=\operatorname {d} \!\phi }$ 是從 ${\displaystyle TM}$ 到 ${\displaystyle M}$ 上的拉回叢 ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$ 的叢映射，這可以看成 ${\displaystyle M}$ 上向量叢 ${\displaystyle \hom(TM,\phi ^{*}TN)}$ 的一個截面。

向量場的前推

給定了一個光滑映射 ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ 與 ${\displaystyle M}$ 上一個向量場 ${\displaystyle X}$，一般不能定義 ${\displaystyle X}$ 通過 ${\displaystyle \phi }$ 的前推為 ${\displaystyle N}$ 的一個向量場。譬如，如果映射 ${\displaystyle \phi }$ 不是滿射，則在 ${\displaystyle \phi }$ 的像外部沒有自然的方式定義拉回；如果 ${\displaystyle \phi }$ 不是單射也有可能在給定一點拉回不止一種選擇。無論如何，可以用「沿著映射的向量場」概念將難處變精確。

${\displaystyle M}$ 上 ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$ 的一個截面稱為沿著 ${\displaystyle \phi }$ 的向量場。例如，如果 ${\displaystyle M}$ 是 ${\displaystyle N}$ 的一個子叢而 ${\displaystyle \phi }$ 是包含映射，那麼沿著 ${\displaystyle \phi }$ 的向量場恰好是 ${\displaystyle N}$ 沿著 ${\displaystyle M}$ 的切叢的一個截面；特別的，${\displaystyle M}$ 上的向量通過 ${\displaystyle TM}$ 包含到 ${\displaystyle TN}$ 中定義這樣一個截面。這種想法推廣到任何光滑映射。

假設 ${\displaystyle X}$ 是 ${\displaystyle M}$ 上一個向量場，即 ${\displaystyle TM}$ 的一個截面。那麼，運用逐點微分得出 ${\displaystyle X}$ 的前推 ${\displaystyle \phi ^{*}X}$，這是一個沿著 ${\displaystyle \phi }$ 的向量場，即 ${\displaystyle M}$ 上 ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$ 的一個截面。

任何 ${\displaystyle N}$ 上的向量場 ${\displaystyle Y}$ 定義了 ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$ 的一個拉回截面 ${\displaystyle \phi ^{*}Y}$ 使得 ${\displaystyle (\phi ^{*}Y)_{X}=Y_{\phi (x)}}$。${\displaystyle M}$ 上一個向量場 ${\displaystyle X}$ 與 ${\displaystyle N}$ 上一個向量場 ${\displaystyle Y}$ 稱為 ${\displaystyle \phi }$-相關的，如果作為沿著 ${\displaystyle \phi }$ 的向量場有 ${\displaystyle \phi *X=\phi ^{*}Y}$。換句話說，對任何 ${\displaystyle x}$ 屬於 ${\displaystyle M}$，有 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi _{x}(X)=Y_{\phi (x)}}$。

在某些情形，給定 ${\displaystyle M}$ 上一個向量場 ${\displaystyle X}$，${\displaystyle N}$ 上只有惟一的向量場 ${\displaystyle Y}$ 與 ${\displaystyle X\phi }$-相關。特別地，這在 ${\displaystyle \phi }$ 是微分同胚時自然成立。在這種情況下，前推定義了 ${\displaystyle N}$ 上一個向量場 ${\displaystyle Y}$，由

${\displaystyle Y_{x}=\varphi _{*}(X_{\varphi ^{-1}(x)}).}$

給出。一個更一般的情形是 ${\displaystyle \phi }$ 為滿射（比如纖維叢的叢投影）。這時 ${\displaystyle M}$ 上的向量場 ${\displaystyle X}$ 稱為可投影的，如果對任何 ${\displaystyle y}$ 屬於 ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi _{x}(X_{x})}$ 與 ${\displaystyle x}$ 屬於 ${\displaystyle \phi ^{-1}(\{y\})}$ 的取法無關。這恰好是保證 ${\displaystyle X}$ 的前推可以作為 ${\displaystyle N}$ 上的一個良定的向量場的條件。

參閲

• 拉回

參考文獻

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.