拉回 (微分幾何)

本文考慮微分幾何中的拉回操作，特別是光滑流形上微分形式與張量場。關於「拉回」在數學中其他含義，參見拉回。

在微分幾何中，拉回是將一個流形上某種結構轉移到另一個流形上的一種方法。具體地說，假設 ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ 是從光滑流形 ${\displaystyle M}$ 到 ${\displaystyle N}$ 的光滑映射；那麼伴隨有一個從 ${\displaystyle N}$ 上 1- 形式（餘切叢的截面）到 ${\displaystyle M}$ 上 1-形式的線性映射，這個映射稱為由 ${\displaystyle \phi }$ 拉回，經常記作 ${\displaystyle \phi ^{*}}$。更一般地，任何 ${\displaystyle N}$ 上共變張量場——特別是任何微分形式——都可以由 ${\displaystyle \phi }$ 拉回到 ${\displaystyle M}$ 上。

當映射 ${\displaystyle \phi }$ 是微分同胚，那麼拉回與前推一起，可以將任何 ${\displaystyle N}$ 上的張量場變換到 ${\displaystyle M}$，或者相反。特別地，如果 ${\displaystyle \phi }$ 是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的開集與 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 之間的微分同胚，視為坐標變換（也許在流形 M 上不同的坐標卡上），那麼拉回和前推描述了共變與反變張量用更傳統方式（用基）表述的變換性質。

拉回概念背後的本質很簡單，是一個函數和另外一個函數的前複合。但是將這種想法運用到許多不同的情形，可以構造許多複雜的拉回。本文從簡單的操作開始，然後利用它們構造更複雜的。粗略地講，拉回手法（利用前複合）將微分幾何中多種不同的結構變成反變函子。

光滑函數與光滑映射

設 ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ 是光滑流形 ${\displaystyle M}$ 與 ${\displaystyle N}$ 之間的光滑映射，假設 ${\displaystyle f:N\rightarrow \mathbb {R} }$ 是 ${\displaystyle N}$ 上一個光滑函數。則 ${\displaystyle f}$ 通過 ${\displaystyle \phi }$ 的拉回是 ${\displaystyle M}$ 上的光滑函數 ${\displaystyle \phi ^{*}f}$，定義為${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$。類似地，如果 ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle N}$ 中開集 ${\displaystyle U}$ 上的光滑函數，則相同的公式定義了 ${\displaystyle M}$ 中開集 ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$ 上一個光滑函數。用層的語言說，拉回定義了 ${\displaystyle N}$ 上光滑函數層到 ${\displaystyle \phi }$ 的直接像（在 ${\displaystyle M}$ 上光滑函數層中）的一個態射。

更一般地，如果 ${\displaystyle f:N\rightarrow A}$ 是從 ${\displaystyle N}$ 到任意其他流形 ${\displaystyle A}$ 的光滑映射，則 ${\displaystyle \phi ^{*}f(x)=f(\phi (x))}$ 是從 ${\displaystyle M}$ 到 ${\displaystyle A}$ 的一個光滑映射。

叢與截面

如果 ${\displaystyle E}$ 是 ${\displaystyle N}$ 上一個向量叢（或任意纖維叢），${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ 是光滑映射，那麼拉回叢 ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ 是 ${\displaystyle M}$ 上一個向量叢（或更一般地纖維叢），其 ${\displaystyle M}$ 中的點 ${\displaystyle x}$ 處的纖維由 ${\displaystyle (\phi ^{*}E)_{x}=E_{\phi (x)}}$ 給出。

在此情形，前複合定義了 ${\displaystyle E}$ 上截面的一個變換：如果 ${\displaystyle s}$ 是 ${\displaystyle N}$ 上 ${\displaystyle E}$ 的一個截面，那麼拉回截面 ${\displaystyle \varphi ^{*}s=s\circ \varphi }$ 是 ${\displaystyle M}$ 上拉回叢 ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ 的一個截面。

多重線性形式

設 ${\displaystyle \Phi :V\rightarrow W}$ 是向量空間 ${\displaystyle V}$ 與 ${\displaystyle W}$ 之間的一個線性映射（即，${\displaystyle \Phi }$ 是 ${\displaystyle L(V,W)}$ 中的元素，也記成 ${\displaystyle \hom(V,W)}$），設

${\displaystyle F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbb {R} }$

是 ${\displaystyle W}$ 上一個多重線性形式（也稱為 ${\displaystyle (0,s)}$ 階張量——但不要和張量場混淆——這裡 ${\displaystyle s}$ 是乘積中 ${\displaystyle W}$ 的因子的個數）。則 ${\displaystyle F}$ 由 ${\displaystyle \Phi }$ 的拉回 ${\displaystyle \Phi ^{*}F}$ 是一個 ${\displaystyle V}$ 上的多重線性形式，定義為 ${\displaystyle F}$ 與 ${\displaystyle \Phi }$ 的前複合。準確地，給定 ${\displaystyle V}$ 中向量 ${\displaystyle v_{1},v_{2},\cdots ,v_{s}}$，${\displaystyle \Phi ^{*}F}$ 由公式定義

${\displaystyle (\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),}$

這是 ${\displaystyle V}$ 上一個多重線性形式。從而 ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ 是一個從 ${\displaystyle W}$ 上的多重線性形式到 ${\displaystyle V}$ 上的多重線性形式的（線性）算子。作為一個特例，注意到如果 ${\displaystyle F}$ 是 ${\displaystyle W}$ 上一個線性形式（或 ${\displaystyle (0,1)}$ -張量），那麼 ${\displaystyle F}$ 是 ${\displaystyle W}$ 的對偶空間 ${\displaystyle W^{*}}$ 中一個元素，則 ${\displaystyle \Phi ^{*}F}$ 是 ${\displaystyle V^{*}}$ 中一個元素，所以拉回定義了對偶空間之間一個線性映射，作用的方向與線性映射 ${\displaystyle \Phi }$ 自己的方向相反：

${\displaystyle \Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.}$

從張量的觀點來看，自然想把來回這種概念推廣到任何階，即 ${\displaystyle W}$上取值於 ${\displaystyle r}$ 個 ${\displaystyle W}$ 的張量積 ${\displaystyle W\otimes W\otimes \cdots \otimes W}$ 的線性映射。但是，這種張量積不能自然的拉回：不過有從 ${\displaystyle V\otimes V\otimes \cdots \otimes V}$ 到 ${\displaystyle W\otimes W\otimes \cdots \otimes W}$ 的前推算子，定義為

${\displaystyle \Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).}$

然而，如果 ${\displaystyle \Phi }$ 可逆，拉回可以用逆函數 ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ 的前推定義。將一個可逆線性映射與這兩個構造放在一起，得到了對任何 ${\displaystyle (r,s)}$ 階張量一個拉回算子。

餘切向量與 1 形式

設 ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ 是光滑流形間的光滑映射。那麼 ${\displaystyle \phi }$ 的前推：${\displaystyle \phi *=\operatorname {d} \!\phi }$ （或 ${\displaystyle D\phi }$），是從 ${\displaystyle M}$ 的切叢 ${\displaystyle TM}$ 到拉回叢 ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$ 的（在 ${\displaystyle M}$ 上）向量叢同態。從而 ${\displaystyle \phi *}$ 的轉置是從 ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$ 到 ${\displaystyle M}$ 的餘切叢 ${\displaystyle T^{*}M}$ 的叢映射。

現在假設 ${\displaystyle \alpha }$ 是 ${\displaystyle T^{*}N}$ 的一個截面（${\displaystyle N}$ 上一個 1-形式），將 ${\displaystyle \alpha }$ 與 ${\displaystyle \phi }$ 前複合得到 ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$的一個拉回截面。將上述（逐點）叢映射應用到截面導致 ${\displaystyle \alpha }$ 由 ${\displaystyle \phi }$ 的拉回，是 ${\displaystyle M}$ 上一個 1-形式，定義為：

${\displaystyle (\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X))}$

對 ${\displaystyle x}$ 屬於 ${\displaystyle M}$ 與 ${\displaystyle X}$ 屬於 ${\displaystyle T_{x}M}$。

（共變）張量場

對任何自然數 ${\displaystyle s}$，上述構造馬上可推廣到 ${\displaystyle (0,s)}$ 階張量叢上。流形 ${\displaystyle N}$ 上 ${\displaystyle (0,s)}$ 張量場 是 ${\displaystyle N}$ 上張量叢的一個截面，在 ${\displaystyle N}$ 中 ${\displaystyle y}$ 點的截面是多重線性 ${\displaystyle s}$-形式空間

${\displaystyle F\colon T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .}$

取 ${\displaystyle \Phi }$ 等於從 ${\displaystyle M}$ 到 ${\displaystyle N}$ 的一個光滑映射的微分（逐點的），多重線性形式的拉回可與截面的拉回複合得出 ${\displaystyle M}$ 上 ${\displaystyle (0,s)}$ 張量場的拉回。更確切地，如果 ${\displaystyle S}$ 是 ${\displaystyle N}$ 上一個 ${\displaystyle (0,s)}$-張量場，那麼 ${\displaystyle S}$ 由 ${\displaystyle \phi }$ 的拉回 是 ${\displaystyle M}$ 上 ${\displaystyle (0,s)}$-張量場 ${\displaystyle \phi ^{*}S}$，定義為

${\displaystyle (\varphi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{s}))\ ,}$

對 ${\displaystyle x}$ 屬於 ${\displaystyle M}$ 與 ${\displaystyle X_{j}}$ 屬於 ${\displaystyle T_{x}M}$。

微分形式

共變張量場拉回的一個特別重要的例子是微分形式的拉回。如果 ${\displaystyle \alpha }$ 是一個微分 ${\displaystyle k}$-形式，即 ${\displaystyle TN}$（逐點）反交換 ${\displaystyle k}$-形式組成的外叢 ${\displaystyle \Lambda ^{k}T^{*}N}$ 的一個截面，則 ${\displaystyle \alpha }$ 的拉回是 ${\displaystyle M}$ 上一個微分 ${\displaystyle k}$-形式，定義與上一節相同：

${\displaystyle (\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{k}))\ ,}$

對 ${\displaystyle x}$ 屬於 ${\displaystyle M}$ 與 ${\displaystyle X_{j}}$ 屬於 ${\displaystyle T_{x}M}$。

微分形式的拉回有兩個性質，使其非常有用。

1. 和楔積相容：假設同上，對 ${\displaystyle N}$ 上的微分形式 ${\displaystyle \alpha }$ 與 ${\displaystyle \beta }$，

${\displaystyle \varphi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\varphi ^{*}\alpha \wedge \varphi ^{*}\beta \ .}$

2. 和外導數 ${\displaystyle \operatorname {d} \!}$ 相容：如果 ${\displaystyle \alpha }$ 是 ${\displaystyle N}$ 上一個微分形式，則

${\displaystyle \varphi ^{*}(\mathrm {d} \alpha )=\mathrm {d} (\varphi ^{*}\alpha )\ .}$

由微分同胚拉回

當流形之間的映射 ${\displaystyle \phi }$ 是微分同胚，即有一個光滑逆函數，則在向量場上也像 1-形式一樣定義拉回，從而通過擴張，對流形上任何混合張量場都可拉回。線性映射

${\displaystyle \Phi =\mathrm {d} \varphi _{x}\in GL(T_{x}M,T_{\varphi (x)}N)}$

可逆，給出

${\displaystyle \Phi ^{-1}={\mathrm {d} \varphi _{x}}^{-1}\in GL(T_{\varphi (x)}N,T_{x}M).}$

一個一般的混合型張量場通過張量積分解為 ${\displaystyle TN}$ 與 ${\displaystyle T^{*}N}$ 兩部分，分別用 ${\displaystyle \Phi }$ 與 ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ 變換。當 ${\displaystyle M=N}$ 時，則拉回和前推刻畫了流形 ${\displaystyle M}$ 上張量場的變換性質。用傳統術語說，拉回描述了張量共變指標的變換性質；相對地，反變指標的變換性質由前推給出。

由自同構拉回

上一節的構造有一個代表性特例，若 ${\displaystyle \phi }$ 是流形 ${\displaystyle M}$ 到自己的微分同胚。在這種情況下，導數 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi }$ 是 ${\displaystyle GL(TM,\phi ^{*}TM)}$ 的一個截面。這樣便在通過一個一般線性群 ${\displaystyle GL(m)(m=\dim M)}$ 相配於 ${\displaystyle M}$ 的標架叢 ${\displaystyle GL(M)}$ 的任何叢的截面上導出了拉回作用。

拉回與李導數

更多資訊：李導數

將上述想法應用到由向量場 ${\displaystyle M}$ 定義的微分同胚單參數群，對參數求導，得到了任意叢上的李導數概念。

聯絡（共變導數）

如果 ${\displaystyle \nabla }$ 是 ${\displaystyle N}$ 上向量叢 ${\displaystyle E}$ 的聯絡（或共變導數），${\displaystyle \phi }$ 是從 ${\displaystyle M}$ 到 ${\displaystyle N}$ 的光滑映射，那麼在 ${\displaystyle M}$ 上的向量叢 ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ 上有拉回聯絡 ${\displaystyle \varphi ^{*}\nabla }$，由等式

${\displaystyle (\varphi ^{*}\nabla )_{X}(\varphi ^{*}s)=\varphi ^{*}(\nabla _{\mathrm {d} \varphi (X)}s)}$

惟一確定。

另見

• 前推 (微分)
• 拉回叢
• 拉回 (範疇論)

參考文獻

• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
• Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.
• B. A. Dubrovin, et al., Modern Geometry Methods and Applications(Part I), (1999) Beijing World Publishing Corp., ISBN 7-5062-0123-2 See section 22.