加法單位元素

在數學裡，一個具有加法運算的集合中的加法單位元素，是指不論它加上任何一個在此集合內的元素x都會等於x的元素。

基本例子

• 初等數學中所熟悉的加法單位元素為0。

如：

5 + 0 = 5 = 0 + 5。

• 在自然數${\displaystyle \mathbb {N} }$和其所有的父集(整數${\displaystyle \mathbb {Z} }$、有理數${\displaystyle \mathbb {Q} }$、實數${\displaystyle \mathbb {R} }$、複數${\displaystyle \mathbb {C} }$)內，其加法單位元素皆為0。所以對於任何一個數${\displaystyle n}$，

${\displaystyle n+0=n=0+n}$。

形式定義

令${\displaystyle N}$是一個在加法運算下封閉的集合。${\displaystyle N}$的加法單位元素即為任一個能使所有在${\displaystyle N}$內的元素${\displaystyle n}$有下列公式的元素${\displaystyle e}$：

${\displaystyle e+n=n=n+e}$。

更多例子

• 在一個群裡，加法單位元素即是這個群的單位元素，通常標記做0，並且是唯一的(見下面證明)。

• 一個環或一個體也會是一個在加法運算下的群，因此它們也會有一個唯一的加法單位元素0。它被定義必須和乘法單位元素1不同，若環（或體）有兩個以上的元素時。如果加法單位元素和乘法單位元素是同一個的話，這個環則會是當然的(見下面證明)。

• 在一個於群${\displaystyle G}$上的${\displaystyle m}$乘${\displaystyle n}$階矩陣所組成的群${\displaystyle M_{m\times n}(G)}$裡，其加法單位元素標記為0，且會是個其元素都是在${\displaystyle G}$內的單位元素0的${\displaystyle m}$乘${\displaystyle n}$矩陣。例如，在一個於整數上的2階方陣${\displaystyle M_{2}(\mathbb {Z} )}$裡，其加法單位元素為

${\displaystyle 0={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$.

證明

加法單位元素在一個群裡是唯一的

令${\displaystyle (G,+)}$是一個群，且設0和0'是在${\displaystyle G}$內的兩個加法單位元素，則對於所有在${\displaystyle G}$內的${\displaystyle g}$而言，

${\displaystyle 0+g=g=g+0}$ 且${\displaystyle 0'+g=g=g+0'}$。

由上可得

(0') = (0') + 0 = 0' + (0) = (0)

故可證明 0 = 0'。

加法和乘法單位元素在一個非平凡環裡是不同的

令${\displaystyle R}$是一個環，且假設加法單位元素0和乘法單位元素1會相等，即0=1。設${\displaystyle r}$為於${\displaystyle R}$內的任一元素，則

${\displaystyle r=r\times 1=r\times 0=0}$

其表示${\displaystyle R}$必須是平凡的，亦即${\displaystyle R=\{0\}}$。再依照換質位法，即可得出若${\displaystyle R}$不是平凡的，則0不會等於1的結論。

另見

• 加法反元素
• 單位元素
• 乘法單位元素

外部連結

• 加法單位元素在一個環裡的唯一性 at PlanetMath.
• Margherita Barile. 加法單位元. MathWorld.

參考文獻

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.