動力學時標

動力學時標（英語：free-fall timescale）是衡量恆星演化的一個時標^[1]，同樣也可以用來衡量星雲坍縮所需要的時間。其定義爲某一質點從某一物體表面落下，所到達物體中心所需的時間。動力學時標由下式給出^[2]：$${\displaystyle t_{ff}={\sqrt {{\frac {3\pi }{32}}{\frac {1}{G\rho _{0}}}}}}$$

理論推導

考慮某一位於恆星表面的質點，該質點的運動方程可以這樣被寫出：

${\displaystyle a={\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {GM(r)}{r^{2}}}}$

其中${\displaystyle M(r)}$是半徑${\displaystyle r}$內的質量，${\displaystyle a}$是質點受到的加速度。通過解該微分方程，可以解出動力學時標^[2]。

通過假設整個恆星是一個球殼，可以粗略估計動力學時標的大小。加速度可以近似為${\displaystyle {\begin{smallmatrix}a\approx {\frac {R}{t_{ff}^{2}}}\end{smallmatrix}}}$，半徑${\displaystyle r}$內的質量可以近似為恆星的質量（即${\displaystyle M(r)\approx M}$），而半徑${\displaystyle r}$可以近似為恆星的半徑${\displaystyle R}$，這樣可以得到：

${\displaystyle {\frac {R}{t_{ff}^{2}}}\approx {\frac {GM}{R^{2}}}}$

再通過平均密度的定義，可以得出動力學時標的粗略估計：$${\displaystyle t_{ff}\approx {\sqrt {\frac {3}{4\pi G\rho _{0}}}}}$$這與前面的解在量綱上一致^[1]。

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