勒讓德符號

勒讓德符號，或二次特徵，是一個由阿德里安-馬里·勒讓德在1798年嘗試證明二次互反律時引入的函數^[1][2]。這個符號是許多高次剩餘符號的原型^[3]；其它延伸和推廣包括雅可比符號、克羅內克符號、希爾伯特符號，以及阿廷符號。

定義

勒讓德符號${\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}$（有時為了印刷上的方便，寫成(a|p))有下列定義：

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\quad 0\\+1\\-1\end{cases}}}$	${\displaystyle \quad }$	如果${\displaystyle a\equiv 0{\pmod {p}}}$
		如果${\displaystyle a\not \equiv 0{\pmod {p}}}$，且對於某個整數${\displaystyle x,x^{2}\equiv \;a{\pmod {p}}}$
		如果不存在整數${\displaystyle x}$，使得${\displaystyle x^{2}\equiv \;a{\pmod {p}}}$。

如果(a|p) = 1，a 便稱為二次剩餘(mod p)；如果(a|p) = −1，則 a 稱為二次非剩餘(mod p)。通常把零視為一種特殊的情況。

a 等於0、1、2、……時的周期數列(a|p)，又稱為勒讓德數列，有時把{0,1,-1}的數值用{1,0,1}或{0,1,0}代替。^[4]

勒讓德符號的公式

勒讓德原先把他的符號定義為：^[5]

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}},\left({\frac {a}{p}}\right)\in \{-1,1\}.}$

歐拉在之前證明了如果a是二次剩餘(mod p)，(a|p) = 1；如果a是二次非剩餘，(a|p) = -1；這個結論現在稱為歐拉準則。

除了這個基本定義式以外，還有其它(a|p)的表達式，它們當中有許多都在二次互反律的證明中有所使用。

高斯證明了^[6]如果${\displaystyle \zeta =e^{\frac {2\pi i}{p}}}$，那麼：

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\frac {1+\zeta ^{a}+\zeta ^{4a}+\zeta ^{9a}+\dots +\zeta ^{(p-1)^{2}a}}{1+\zeta +\zeta ^{4}+\zeta ^{9}+\dots +\zeta ^{(p-1)^{2}}}}={\frac {2(1+\zeta ^{a}+\zeta ^{4a}+\zeta ^{9a}+\dots +\zeta ^{(p-1)^{2}a})}{{\sqrt {p}}(1+i)[1+(-i)^{p}]}}.}$

這是他對二次互反律的第四個^[7]、第六個^[8]，以及許多^[9]後續的證明的基礎。參見高斯和。

克羅內克的證明^[10]是建立了

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\operatorname {sgn} \prod _{i=1}^{\frac {q-1}{2}}\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left({\frac {k}{p}}-{\frac {i}{q}}\right)}$

然後把p和q互換。

艾森斯坦的一個證明^[11]是從以下等式開始：

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {\sin({\frac {2\pi }{p}}qn)}{\sin({\frac {2\pi }{p}}n)}}.}$

把正弦函數用橢圓函數來代替，他也證明了三次和四次互反律。

其它含有勒讓德符號的公式

斐波那契數1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ……由遞推公式F₁ = F₂ = 1，F_n+1 = F_n + F_n-1定義。

如果p是素數，則：

${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {p}},\;\;\;F_{p}\equiv \left({\frac {p}{5}}\right){\pmod {p}}.}$

例如：

${\displaystyle ({\tfrac {2}{5}})=-1,\,\,F_{3}=2,F_{2}=1,}$

${\displaystyle ({\tfrac {3}{5}})=-1,\,\,F_{4}=3,F_{3}=2,}$

${\displaystyle ({\tfrac {5}{5}})=\;\;\,0,\,\,F_{5}=5,}$

${\displaystyle ({\tfrac {7}{5}})=-1,\,\,F_{8}=21,\;\;F_{7}=13,}$

${\displaystyle ({\tfrac {11}{5}})=+1,F_{10}=55,F_{11}=89.}$

這個結果來自盧卡斯數列的理論，在素性測試中有所應用。^[12]參見沃爾-孫-孫素數。

性質

勒讓德符號有許多有用的性質，可以用來加速計算。它們包括：

• ${\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)}$（它是一個完全積性函數。這個性質可以理解為：兩個剩餘或非剩餘的乘積是剩餘，一個剩餘與一個非剩餘的乘積是非剩餘。）

• 如果a ≡ b (mod p)，則${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)}$

• ${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{p}}\right)=1}$

• ${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}+1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\pmod {4}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

這個性質稱為二次互反律的第一補充。

• ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}+1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}7{\pmod {8}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 3{\mbox{ or }}5{\pmod {8}}\end{cases}}}$

這個性質稱為二次互反律的第二補充。一般的二次互反律為：

• 如果p和q是奇素數，則${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

參見二次互反律和二次互反律的證明。

以下是一些較小的p的值的公式：

• 對於奇素數p，${\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lceil {\frac {p+1}{6}}\right\rceil }={\begin{cases}+1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}11{\pmod {12}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 5{\mbox{ or }}7{\pmod {12}}\end{cases}}}$

• 對於奇素數p，${\displaystyle \left({\frac {5}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p-2}{5}}\right\rfloor }={\begin{cases}+1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}4{\pmod {5}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 2{\mbox{ or }}3{\pmod {5}}\end{cases}},}$

但一般直接把剩餘和非剩餘列出更簡便：

• 對於奇素數p，${\displaystyle \left({\frac {7}{p}}\right)={\begin{cases}+1{\mbox{ if }}p\equiv 1,3,9,19,25,{\mbox{ or }}27{\pmod {28}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 5,11,13,15,17,{\mbox{ or }}23{\pmod {28}}\end{cases}}}$

勒讓德符號(a|p)是一個狄利克雷特徵(mod p)。

計算例子

以上的性質，包括二次互反律，可以用來計算任何勒讓德符號。例如：

${\displaystyle \left({\frac {12345}{331}}\right)}$

${\displaystyle =\left({\frac {3}{331}}\right)\left({\frac {5}{331}}\right)\left({\frac {823}{331}}\right)}$

${\displaystyle =\left({\frac {3}{331}}\right)\left({\frac {5}{331}}\right)\left({\frac {161}{331}}\right)}$

${\displaystyle =\left({\frac {3}{331}}\right)\left({\frac {5}{331}}\right)\left({\frac {7}{331}}\right)\left({\frac {23}{331}}\right)}$

${\displaystyle =(-1)\left({\frac {331}{3}}\right)\left({\frac {331}{5}}\right)(-1)\left({\frac {331}{7}}\right)(-1)\left({\frac {331}{23}}\right)}$

${\displaystyle =-\left({\frac {1}{3}}\right)\left({\frac {1}{5}}\right)\left({\frac {2}{7}}\right)\left({\frac {9}{23}}\right)}$

${\displaystyle =-\left({\frac {1}{3}}\right)\left({\frac {1}{5}}\right)\left({\frac {2}{7}}\right)\left({\frac {3}{23}}\right)^{2}}$

${\displaystyle =-\left(1\right)\left(1\right)\left(1\right)\left(1\right)=-1.}$

相關函數

• 雅可比符號是勒讓德符號的一個推廣，允許底數為合數，但底數仍然必須是奇數和正數。這個推廣提供了計算所有勒讓德符號的一個有效的方法。
• 一個進一步的推廣是克羅內克符號，把底數的範圍延伸到一切整數。