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單位圓

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单位圆
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數學中,單位圓(Unit circle)是指半徑單位長度的,通常為歐幾里得平面直角坐標系中圓心為、半徑為1的圓。單位圓對於三角函數和複數的坐標化表示有著重要意義。單位圓通常表示為S1。多維空間中,單位圓可推廣為單位球

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單位圓。變量

如果單位圓上的點位於第一象限,那麼斜邊長度為1的直角三角形的兩條邊,根據畢氏定理滿足方程式

因對於所有的而言,,且所有點相對於x軸或者y軸的反射點也都位於單位圓上,因此單位圓上的所有點都滿足上述方程式。

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單位圓與三角函數

不僅是正弦函數與餘弦函數,六個標準三角函數——正弦(sin)、餘弦(cos)、正切(tan)、餘切(cot)、正割(sec)、餘割(csc)以及不常用的正矢(versin)和其相關函數外正割(exsec)、外餘割(excsc),甚至歷史上曾存在的弦函數(crd),都可以以單位圓標示。

在直角三角形中,正弦、餘弦以及其它三角函數只有在滿足角度大於0且小於時才有意義。但在單位圓上,對於任何實數角度,這些函數都具有直觀意義。

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角度 所有三角函數都可以在圓心為的單位圓上表示出來

是單位圓上的一個點。設角的起始邊為x軸的正方向,角度按照逆時針方向測量。那麼角t的終邊和單位圓會有一個交點。因此:

另外,從可以得到

從這裡可以直觀地看出正弦函數與餘弦函數都是週期函數,對於任意的整數恆等式

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單位圓上已知準確座標的點

這些恆等式的依據是在角度 增加或減少任意圈數時,xy坐標將保持不變,其中一圈 弧度=360°

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複數的圓群

複數也可以用歐幾里得平面內的點來表示, 表示為。在這種表示下,單位圓是不斷增加的,在數學以及科學領域這個群有很重要的應用。

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