單位圓

提示：此條目的主題不是單位元。

在數學中，單位圓（英語：Unit circle）是指半徑為單位長度的圓，通常為歐幾里得平面直角坐標系中圓心為${\displaystyle (0,0)}$、半徑為1的圓。單位圓對於三角函數和複數的坐標化表示有著重要意義。單位圓通常表示為S¹。多維空間中，單位圓可推廣為單位球。

單位圓。變量${\displaystyle t}$是角度

如果單位圓上的點${\displaystyle (x,y)}$位於第一象限，那麼${\displaystyle x}$與${\displaystyle y}$是斜邊長度為1的直角三角形的兩條邊，根據勾股定理，${\displaystyle x}$與${\displaystyle y}$滿足方程：

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,\!}$

由於對於所有的${\displaystyle x}$來說${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$，並且所有這些點相對於x軸或者y軸的反射點也都位於單位圓上，因此單位圓上的所有點都滿足上面的方程。

單位圓與三角函數

事實上，不僅僅是正弦與餘弦，而且所有六個標準三角函數—正弦（sin）、餘弦（cos）、正切（tan）、餘切（cot）、正割（sec）、餘割（csc）以及不常用的正矢（versin）和其相關函數、外正割（exsec）、外餘割（excsc）和歷史上曾存在的弦函數（crd）—都可以在單位圓表示出來。

在直角三角形中，正弦、餘弦以及其它三角函數只有當角度大於0且小於${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$時才有意義。但是，在單位圓上，對於任意的實數角度，這些函數都有直觀的意義。

角度 ${\displaystyle \theta }$ 的所有三角函數都可以在圓心為${\displaystyle O}$的單位圓上表示出來

• 正弦函數與餘弦函數可以用如下方法定義。

設${\displaystyle (x,y)}$是單位圓上的一個點。設角${\displaystyle t}$的起始邊為x軸的正方向，角度按照逆時針方向測量。那麼角t的終邊和單位圓會有一個交點。因此：

${\displaystyle \cos(t)=x\,\!}$

${\displaystyle \sin(t)=y\,\!}$

另外，從${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$可以得到

${\displaystyle \cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1\,\!}$

從這裡還可以直觀地看出正弦函數與餘弦函數都是周期函數，對於任意的整數${\displaystyle k}$有恆等式

${\displaystyle \cos t=\cos(2\pi k+t)\,\!}$

${\displaystyle \sin t=\sin(2\pi k+t)\,\!}$

單位圓上已知準確座標的點

這些恆等式的依據是在角度 ${\displaystyle t}$ 增加任意圈數或者減小任意圈數的時候x與y坐標保持不變。一圈${\displaystyle =2\pi }$ 弧度。

複數的圓群

複數也可以用歐幾里得平面內的點來表示，${\displaystyle a+bi}$ 表示為${\displaystyle (a,b)}$。在這種表示下，單位圓是不斷增加的群，在數學以及科學領域這個群有很重要的應用。

參見

• 三角函數
• 角
• 單位球
• 單位正方形
• 單位圓盤
• 圓群