卡塔蘭猜想

卡塔蘭猜想也稱為米哈伊列斯庫定理，是比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭在1844年提出的數論猜想，已在2002年4月由帕德博恩大學的羅馬尼亞數學家普雷達·米哈伊列斯庫（英語：Preda Mihăilescu）證明了這猜想，因此也稱為米哈伊列斯庫定理，證明大幅使用了分圓域和伽羅華模（英語：Galois module）。

此定理斷言除了${\displaystyle 8=2^{3}}$，${\displaystyle 9=3^{2}}$，沒有兩個連續整數都是正整數的冪（即次方數）；以數學方式表述為：不定方程${\displaystyle x^{a}-y^{b}=1}$的大於1的正整數${\displaystyle x,y,a,b}$只有唯一解${\displaystyle x=3,y=2,a=2,b=3}$。

歷史

在卡塔蘭之前已有人考慮過類似的問題。

• 1320年左右，萊維·本·熱爾松（英語：Levi ben Gerson）（1288年—1344年）證明2和3的冪之間只有8和9相差是1。
• 萊昂哈德·歐拉證明，x² - y³ = 1只有一解：x = 3,y = 2。
• 勒貝格證明了方程x^a - y² = 1，a > 1 沒有正整數解。
• 1965年柯召證明方程x² - y^b = 1，b > 1 只有一個解。

於是卡塔蘭猜想只餘下${\displaystyle a,b}$為奇素數的情況。

• 1976年羅貝特·泰德曼(Robert Tijdeman)證明卡塔蘭猜想的方程只有有限個解。雷·斯坦納(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奧特（Maurice Mignotte）也對這猜想作出貢獻。
• 皮萊猜想（Pillai's conjecture）：把卡塔蘭猜想一般化，推測正整數的冪之間的差趨向無限大；換句話說，對任何正整數，僅有限多對正整數的冪的差是這個數。這猜想現在仍未解決。若abc猜想成立，則皮萊猜想也成立。

參見

• 費馬-卡塔蘭猜想
• 布羅卡問題（英語：Brocard's problem）

參閱

• 埃里克·韋斯坦因. Catalan's conjecture. MathWorld.
• Ivars Peterson's MathTrek（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture