abc猜想

abc猜想（英語：abc conjecture）是一個未解決的數學猜想，最先由約瑟夫·奧斯特萊及大衛·馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於2012年提出論文證明，經過8年同行審查後於2020年4月發表，但對於該證明的正確性仍存在極大爭議。對此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。

abc猜想若得證，數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安·哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。(Goldfeld 1996)

內容

對正整數${\displaystyle n}$，${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$表示${\displaystyle n}$的質因數的積，稱為${\displaystyle n}$的根基（radical）。例如

rad(16) = rad(2⁴) = 2,

rad(17) = 17,

rad(18) = rad(2 ⋅ 3²) = 2 · 3 = 6,

rad(1000000) = rad(2⁶ ⋅ 5⁶) = 2 ⋅ 5 = 10.

若正整數a, b, c 彼此互質，且a + b=c，「通常」會有c < rad(abc)，例如：

${\displaystyle a=2}$, ${\displaystyle b=7}$, ${\displaystyle c=9}$：${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=42>c}$。

${\displaystyle a=9}$, ${\displaystyle b=16}$, ${\displaystyle c=25}$：${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=30>c}$。

但是也有反例，例如：

${\displaystyle a=3}$, ${\displaystyle b=125}$, ${\displaystyle c=128}$：因為${\displaystyle 125=5^{3}}$，${\displaystyle 128=2^{7}}$，故此${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=30<c}$。

如上有多於一個整數可被小的質數的高次冪整除，使rad(abc) < c，是較特殊的情況。ABC@Home計劃目的在尋找更多這樣的例子。

abc猜想（一）

對於任何${\displaystyle \varepsilon >0}$，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon }}$

abc猜想也有以下等價的表述方式：

abc猜想（二）

對於任何${\displaystyle \varepsilon >0}$，存在常數${\displaystyle C_{\varepsilon }>0}$，使得對於互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，有：

${\displaystyle c<C_{\varepsilon }\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon },}$

abc猜想第三個表述方式，用到了三元組(a, b, c)的品質（quality），定義為：

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}}$

例如：

• q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
• q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互質正整數的三元組，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) < 1。q大於1的情況較少出現。

abc猜想（三）

對於任何${\displaystyle \varepsilon >0}$，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得

${\displaystyle q(a,b,c)>1+\epsilon }$

abc猜想中的ε不能去掉，不然命題就不成立。考慮以下例子：

${\displaystyle a_{n}=3^{2^{n}}-1}$, ${\displaystyle b_{n}=1}$, ${\displaystyle c_{n}=3^{2^{n}}}$

這三個正整數互質，且有${\displaystyle a_{n}+b_{n}=c_{n}}$。注意到${\displaystyle a_{n}}$可被${\displaystyle 2^{n+2}}$整除，因此有

${\displaystyle \operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})\leq 3\cdot 2\cdot {\frac {a_{n}}{2^{n+2}}}={\frac {3a_{n}}{2^{n+1}}}}$:

因此

${\displaystyle c_{n}>a_{n}\geq {\frac {2^{n+1}}{3}}\operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})}$

當n趨向無限大時，${\displaystyle {\frac {2^{n+1}}{3}}}$也趨向無限大。因此不存在常數C，使得 c < C rad(abc)對所有適合條件的三元組都成立。

可得出的結果

如果abc猜想得證，那麼有很多結果可以推導出來。其中一些結果，在abc猜想提出後，已經以其他方法得到證明，一些則仍然為猜想。

• Thue–Siegel–Roth定理（英語：Thue–Siegel–Roth theorem）
• 費馬大定理對所有足夠大指數的情形（安德魯·懷爾斯已證一般情形） (Granville 2002) harv模板錯誤: 無指向目標: CITEREFGranville2002 (幫助)
• Mordell猜想（格爾德·法爾廷斯已證一般情形）(Elkies 1991)
• Erdős–Woods猜想（英語：Erdős–Woods conjecture），除了有限多的反例。(Langevin 1993)
• 存在無限多非維費里希素數(Silverman 1988)
• Marshall Hall猜想（英語：Marshall Hall's conjecture）的弱形式(Nitaj 1996)
• 費馬－卡塔蘭猜想(Pomerance 2008)
• 用勒讓德符號構成的L函數L(s, χ_d)沒有西格爾零點（需要abc猜想在代數數域上的一致形式，不只在有理整數上。）(Granville 2000) harv模板錯誤: 無指向目標: CITEREFGranville2000 (幫助)
• 對有至少3個簡單零點的多項式P(x)，在整數x取的所有值中，只有有限個次方數。^[1]
• Tijdeman定理（英語：Tijdeman's theorem）的推廣形式，關於y^m = xⁿ + k的解的個數（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，關於Ay^m = Bxⁿ + k的解的個數。
• 等價於Granville–Langevin 猜想^[2][3]
• 等價於修改後的Szpiro猜想（英語：Szpiro's conjecture）(Oesterlé 1988)
• Brocard問題（英語：Brocard's problem）n! + A= k²，對任何給定的整數A，都只有有限個解。(Dąbrowski 1996)

理論結果

abc猜想導出c有abc的根基的接近線性函數的上界；不過，現在已知的是指數上界。確切結果如下：

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}}$ (Stewart & Tijdeman 1986),

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}}$ (Stewart & Yu 1991),

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {1}{3}}+\varepsilon }\right)}}$ (Stewart & Yu 2001).

上述的上界中，K₁是不依賴a, b, c的常數，而K₂和K₃是（以可有效計算的方式）依賴於ε的常數，但不依賴於a, b, c。上述的上界對c > 2的三元組都成立。

計算結果

2006年，荷蘭的萊頓大學數學系與Kennislink科學研究所合作，開展ABC@Home計劃。這個計劃是網格計算系統，目的在找出更多的正整數三元組a, b, c使得rad(abc) < c。雖然有無限個例子或反例不能解決abc猜想，但是期望藉著這個計劃發現的三元組的模式，可以得出對這個猜想以至於數論的新的洞見。

下述的q是上節定義的品質。

符合q > 1的三元組分佈^[4]

	q > 1	q > 1.05	q > 1.1	q > 1.2	q > 1.3	q > 1.4
c < 102	6	4	4	2	0	0
c < 103	31	17	14	8	3	1
c < 104	120	74	50	22	8	3
c < 105	418	240	152	51	13	6
c < 106	1,268	667	379	102	29	11
c < 107	3,499	1,669	856	210	60	17
c < 108	8,987	3,869	1,801	384	98	25
c < 109	22,316	8,742	3,693	706	144	34
c < 1010	51,677	18,233	7,035	1,159	218	51
c < 1011	116,978	37,612	13,266	1,947	327	64
c < 1012	252,856	73,714	23,773	3,028	455	74
c < 1013	528,275	139,762	41,438	4,519	599	84
c < 1014	1,075,319	258,168	70,047	6,665	769	98
c < 1015	2,131,671	463,446	115,041	9,497	998	112
c < 1016	4,119,410	812,499	184,727	13,118	1,232	126
c < 1017	7,801,334	1,396,909	290,965	17,890	1,530	143
c < 1018	14,482,065	2,352,105	449,194	24,013	1,843	160

截至2014年4月 (2014-04)^[update]，ABC@Home找出 2380 萬個三元組，現今目標在找出c不大於2⁶³的所有三元組(a,b,c)。^[5]

已知之中最高品質的三元組^[6]

	q	a	b	c	發現者
1	1.6299	2	310·109	235	Eric Reyssat
2	1.6260	112	32·56·73	221·23	Benne de Weger
3	1.6235	19·1307	7·292·318	28·322·54	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4	1.5808	283	511·132	28·38·173	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5	1.5679	1	2·37	54·7	Benne de Weger

歷史

1996年，艾倫·貝克（Alan Baker）提出一個較為精確的猜想，將${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}$用${\displaystyle \varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc)}$取代，在此${\displaystyle \omega }$是${\displaystyle a,b,c}$的不同質因數的數目。

2007年，呂西安·施皮羅嘗試給出證明，後來被發現有錯誤。^[7]

2012年8月，日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的abc猜想的證明，以他建立的宇宙際泰赫米勒理論（inter-universal Teichmüller theory）為基礎^[8][9][10]。該證明目前正由其他數學專家檢查中。^[11]當Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月發現一處錯誤時，望月新一在他的網站確認了此錯誤，並聲稱這個錯誤能夠在近期修補，不會影響最後的結果^[12]。2012年12月，望月新一在自己主頁貼出了自己對所有四篇文章的修改稿。主要包含27條重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屢次對文章進行了修訂，新修正了18處錯誤，當中很多也是打字錯誤^[13]。望月新一在網上公開了2013年^[14]以及2014年^[15]的檢驗進度報告。2018年8月，皮特·舒爾策和Jakob Stix（英語：Jakob Stix）指出，望月新一的證明論文中 Corollary 3.12 證明結尾的一行推理存在無法修復的缺陷。^[16]望月認為二者的批評存在「某種根本上的誤解」。^[17]

參見

• 根基
• Mason-Stothers定理—多項式環上的對應定理

參考文獻