盧卡斯-卡納德方法

在計算機視覺中，盧卡斯-卡納德方法是一種廣泛使用的光流估計的差分方法，這個方法是由Bruce D. Lucas和Takeo Kanade發明的。它假設光流在像素點的鄰域是一個常數，然後使用最小平方法對鄰域中的所有像素點求解基本的光流方程。^{[1] [2]}

通過結合幾個鄰近像素點的信息，盧卡斯-卡納德方法(簡稱為L-K方法)通常能夠消除光流方程里的多義性。而且，與逐點計算的方法相比，L-K方法對圖像噪聲不敏感。不過，由於這是一種局部方法，所以在圖像的均勻區域內部，L-K方法無法提供光流信息。

基本原理

L-K方法假設兩個相鄰幀的圖像內容位移很小，且位移在所研究點p的鄰域內為大致為常數。所以，可以假設光流方程 在以p點為中心的窗口內對所有的像素都成立。也就是說，局部圖像流（速度）向量${\displaystyle (V_{x},V_{y})}$須滿足：

${\displaystyle I_{x}(q_{1})V_{x}+I_{y}(q_{1})V_{y}=-I_{t}(q_{1})}$

${\displaystyle I_{x}(q_{2})V_{x}+I_{y}(q_{2})V_{y}=-I_{t}(q_{2})}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle I_{x}(q_{n})V_{x}+I_{y}(q_{n})V_{y}=-I_{t}(q_{n})}$

其中，${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$ 是窗口中的像素，${\displaystyle I_{x}(q_{i}),I_{y}(q_{i}),I_{t}(q_{i})}$是圖像在點${\displaystyle q_{i}}$和當前時間對位置x，y和時間t的偏導。

這些等式可以寫成矩陣的形式${\displaystyle Av=b}$，此處

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}I_{x}(q_{1})&I_{y}(q_{1})\\[10pt]I_{x}(q_{2})&I_{y}(q_{2})\\[10pt]\vdots &\vdots \\[10pt]I_{x}(q_{n})&I_{y}(q_{n})\end{bmatrix}},\quad \quad v={\begin{bmatrix}V_{x}\\[10pt]V_{y}\end{bmatrix}},\quad {\mbox{and}}\quad b={\begin{bmatrix}-I_{t}(q_{1})\\[10pt]-I_{t}(q_{2})\\[10pt]\vdots \\[10pt]-I_{t}(q_{n})\end{bmatrix}}}$

此方程組的等式個數多於未知數個數，所以它通常是over-determined的。L-K方法使用最小平方法獲得一個近似解，即計算一個2x2的方程組：

${\displaystyle A^{T}Av=A^{T}b}$ 或

${\displaystyle \mathrm {v} =(A^{T}A)^{-1}A^{T}b}$

其中，${\displaystyle A^{T}}$是矩陣${\displaystyle A}$的轉置。即計算：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{x}\\[10pt]V_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{i}I_{x}(q_{i})^{2}&\sum _{i}I_{x}(q_{i})I_{y}(q_{i})\\[10pt]\sum _{i}I_{y}(q_{i})I_{x}(q_{i})&\sum _{i}I_{y}(q_{i})^{2}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-\sum _{i}I_{x}(q_{i})I_{t}(q_{i})\\[10pt]-\sum _{i}I_{y}(q_{i})I_{t}(q_{i})\end{bmatrix}}}$

對i=1 到 n求和。

矩陣${\displaystyle A^{T}A}$通常被稱作圖像在點p的 結構張量。