參數方程式

參數方程式（英語：Parametric equation）和函數相似，都是由一些在指定的集合的數，稱為參數或自變數，以決定因變數的結果。例如在運動學，參數通常是「時間」，而方程式的結果是速度、位置等。

用參數方程式可以很容易表示出的蝶形線

一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$都是某個變數${\displaystyle t}$的函數：

${\displaystyle {\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}}$

並且對於${\displaystyle t}$的每一個允許的取值，由方程組確定的點${\displaystyle (x,y)}$都在這條曲線上，那麼這個方程式就叫做曲線的參數方程式，聯繫變數${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$的變數${\displaystyle t}$叫做參變數，簡稱參數。相對而言，直接給出點坐標間關係的方程式叫普通方程式。

例子

${\displaystyle x=a\cos(t),y=a\sin(t)}$，表示了平面上半徑為${\displaystyle a}$、以原點為圓心的圓。在三維，加入${\displaystyle z=bt}$，便是螺旋的圖形。這些式子可以表示成：

${\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,}$

如果有一個粒子，沿這個螺旋的路徑而行，直接微分上面的式子便會得到粒子的速度：

${\displaystyle v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b)\,}$

及加速度：

${\displaystyle a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0)\,}$

參數曲線亦可以是多於一個參數的函數。例如參數表面是兩個參數${\displaystyle (s,t)}$或${\displaystyle (u,v)}$的函數。

譬如一個圓柱：

${\displaystyle r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(a\cos(u),a\sin(u),v)\,}$

參數是參變數的簡稱。它是研究運動等一類問題中產生的。質點運動時，它的位置必然與時間有關係，也就是說，質的坐標${\displaystyle x}$，${\displaystyle y}$與時間${\displaystyle t}$之間有函數關係${\displaystyle x=f(t)}$，${\displaystyle y=g(t)}$，這兩個函數式中的變量${\displaystyle t}$，相對於表示質點的幾何位置的變量${\displaystyle x}$，${\displaystyle y}$來說，就是一個「參與的變量」。這類實際問題中的參變量，被抽象到數學中，就成了參數。我們所學的參數方程式中的參數，其任務在於溝通變量${\displaystyle x}$，${\displaystyle y}$及一些常數之間的聯繫，為研究曲線的形狀和性質提供方便。

用參數方程式描述運動規律時，常常比用普通方程式更為直接簡便。對於解決求最大射程、最大高度、飛行時間或軌跡等一系列問題都比較理想。有些重要但較複雜的曲線（例如圓的漸開線），建立它們的普通方程式比較困難，甚至不可能，列出的方程式既複雜又不易理解，如圓的漸開線的普通方程式。

根據方程式畫出曲線十分費時；而利用參數方程式把兩個變量${\displaystyle x}$，${\displaystyle y}$間接地聯繫起來，常常比較容易，方程式簡單明確，且畫圖也不太困難。

常見參數方程式

${\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{cases}}}$

圓形參數方程式在${\displaystyle r=1}$的情形。

• 直線：
  • 點斜式過${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$，斜率為${\displaystyle m}$的直線: ${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+t\\y=y_{0}+mt\end{cases}}}$
  • 點向式過${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, 方向向量為${\displaystyle (u,v)}$的直線：${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+ut\\y=y_{0}+vt\end{cases}}}$
• 圓：${\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{cases}}}$
• 橢圓：${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}}$
• 雙曲線：${\displaystyle {\begin{cases}x=a\sec t\\y=b\tan t\end{cases}}}$
• 拋物線：${\displaystyle {\begin{cases}x=2ct\\y=t^{2}\end{cases}}}$
• 螺線：${\displaystyle {\begin{cases}x=t\cos lt\\y=t\sin lt\end{cases}}}$
• 擺線：${\displaystyle {\begin{cases}x=r\cdot \left(t-\sin t\right)\\y=r\cdot \left(1-\cos t\right)\end{cases}}}$

註：上文中的${\displaystyle a,b,c,h,k,l,m,p,r,x_{0},y_{0},u,v}$為已知數，${\displaystyle t}$都為參數，${\displaystyle x}$，${\displaystyle y}$為變量

參見

• 隱方程式
• 極坐標系