雙體模型

在統計力學和圖論中，雙體模型（dimer model）是二維空間密鋪的模型，也稱為骨牌密鋪（Domino tiling，多米諾密鋪）或隨機密鋪模型（random tiling model）。這也是平方格子的完美匹配。^[1][2][3][4]

8x8平方骨牌密鋪

介紹

若有 ${\displaystyle m\times n}$ 平方格子G、以及${\displaystyle mn/2}$ 把骨牌，覆蓋數量或密鋪數量是^[5][6][1]

${\displaystyle Z={\sqrt {|\det K|}}=\prod _{j=1}^{\lceil {\frac {m}{2}}\rceil }\prod _{k=1}^{\lceil {\frac {n}{2}}\rceil }\left(4\cos ^{2}{\frac {\pi j}{m+1}}+4\cos ^{2}{\frac {\pi k}{n+1}}\right).}$

K是G的鄰接矩陣。 Z也是統計力學的配分函數。^[7]

例如：

• ${\displaystyle 2\times n}$ 格子：${\displaystyle Z_{n}}$是斐波那契數列 ^[8]
• ${\displaystyle m=n=2k=0,2,4,\ldots }$，可以使用普法夫值計算Z ^[9]

若G是環面，則

${\displaystyle \lim _{m,n\to \infty }Z(m,n)/(mn)=C/\pi }$。

其中Z依賴同調、C是卡塔蘭常數。^[7]

疊蓆密鋪

阿茲特克鑽石與北極圈現象

Z也依賴格子的邊界（參看阿茲特克鑽石（英語：Aztec diamond））。

• 
  阿茲特克鑽石（Aztec diamond（英語：Aztec diamond））密鋪，有1024個密鋪
• 
  一個可能的密鋪

阿茲特克鑽石表示所謂的「北極圈的現象」（Arctic circle phenomena），即邊界看起來很同質（冰凍地區），但是中間的「北極圈」不同質（非冰凍地區）。可以使用高度函數解釋這個現象。^[7][4]

這些文章有更多阿茲特克圖：^[7][3][4]

http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

高度函數

一個密鋪定義一個0微分形式（函數）：

${\displaystyle s(v)=\pm 1}$

s是自旋（參看易辛模型）、v是頂點。那麼可以定義一個1-形式：

${\displaystyle ds(e=uv)=s(u)-s(v)=\pm 2}$

這個形式是閉形式。注意上面的形式不等於0因為G是二分圖。也定義密鋪函數

${\displaystyle \delta (e)=0,1}$

若雙體e存在，${\displaystyle \delta (e)=1}$，不然等於0。高度差函數是^[7]

${\displaystyle dh(e)=h(u)-h(v)=(1+\delta (e))ds(e)=\pm 3}$

這個函數定義一個${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z} }$的隨機函數。這也是閉形式。的確威廉·瑟斯頓表示了若${\displaystyle \delta (e)}$真的是密鋪函數，這是一個必要條件。h是高度函數。

NxN平方格子的高度函數在中間逼近O(N)。但是阿茲特克鑽石的高度函數逼近h的平均值。^[7]的確，CKP定理^[7]說h最小化一個熵（或熱力學自由能）的泛函（變分法）：

${\displaystyle F=\log Z}$

共形場論

主條目：共形場論

高斯自由場

雙體模型的縮放極限（即高度函數的縮放極限是高斯自由場）^[7]，高斯自由場是一種二維布朗運動。所以${\displaystyle h(x)\to \phi (x)}$成為二維純量場。

若G是一定的加權圖，^[7]K的縮放極限是反全純導數 ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$。^[1] 若

${\displaystyle Kf=f(w+1)-f(w-1)+if(w+i)-if(w-i)=0}$

f是「反全純函數」。再說 f 是調和函數（和諧函數）。這是因為${\displaystyle KK^{*}=L}$是調和矩陣（harmonic matrix）。^[7]

非冰凍地區描述一個極限形（limit shape），比如這張文章描述一個心臟線：^[1]（跟代數幾何有關）。高斯自由場也許描述這些極限形。2020年這還是未解決的問題。

數學家知道極限形滿足一個類似伯格斯方程（${\displaystyle \phi _{x}-\phi \phi _{y}=0}$）的橢圓型偏微分方程。這些極限形可以相似極小曲面的魏爾斯特拉斯-恩內佩爾參數化。^[1]

傳播子

鄰接矩陣的反函數${\displaystyle K^{-1}(x,y)}$是一種格林函數。

${\displaystyle D(x,y)=\langle h(x)h(y)\rangle }$

是傳播子（量子場論）。^[7] 可以表示這等於狄利克雷問題的核子

${\displaystyle D(u,v)=-{\frac {1}{2\pi }}\log(v-u)}$

${\displaystyle d_{u}D(u,v)={\frac {1}{2\pi }}({\frac {du}{v-u}}-{\frac {d{\bar {u}}}{v-{\bar {u}}}})}$

由於維克定理，^[7]

${\displaystyle \langle h(x_{1})\ldots h(x_{2k})\rangle \propto \sum _{\text{对 }}D(x_{i_{1}}x_{i_{2}})\ldots D(x_{i_{2k-1}}x_{i_{2k}})}$

相關條目

其他骨牌模型

• 雙體，雙體模型描述有些很簡單的化學和物理學的系統
• 疊蓆，日本式的骨牌密鋪
• 肢解西洋棋盤問題
• 王氏磚
• 量子雙體模型（英語：Quantum_dimer_models）
• 平面圖

量子場論

• 高斯自由場
• 玻茨模型
• 滲流理論
• 相變^[1]、臨界現象
• Fisher格子：參看韓文版圖（https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%A9%EC%B2%B4_%EB%AA%A8%ED%98%95）^[3]