史拉斯基定理

在機率論，史拉斯基定理將實數列極限的若干代數性質推廣到隨機變數序列。^[1]

定理得名自尤金·史拉斯基。^[2]史拉斯基定理有時歸功於哈拉爾德·克拉梅爾。^{[註 1]}

敘述

設${\displaystyle (X_{n}),(Y_{n})}$為隨機純量、向量或矩陣序列。若${\displaystyle (X_{n})}$依分布收斂至隨機元素${\displaystyle X}$，且${\displaystyle (Y_{n})}$依機率收斂至常數${\displaystyle c}$，則

• ${\displaystyle (X_{n}+Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ X+c;}$
• ${\displaystyle (X_{n}Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ Xc;}$
• ${\displaystyle (X_{n}/Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ X/c,}$   若c可逆，

其中${\displaystyle {\xrightarrow {d}}}$表示依分布收斂。

說明

1. ${\displaystyle (Y_{n})}$趨向於常數的條件不能省略。假如允許趨向於非退化的隨機元，則定理不再成立。例如，設${\displaystyle X_{n}\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$，${\displaystyle Y_{n}=-X_{n}}$，則對所有${\displaystyle n}$，皆有和${\displaystyle X_{n}+Y_{n}=0}$。再者，${\displaystyle Y_{n}{\xrightarrow {d}}{\rm {Uniform}}(-1,0)}$，但${\displaystyle X_{n}+Y_{n}}$並不依分布收斂至${\displaystyle X+Y}$，其中${\displaystyle X\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$，${\displaystyle Y\sim {\rm {Uniform}}(-1,0)}$，${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$獨立。^[3]
2. 若將定理中，所有「依分布收斂」改成「依機率收斂」，則結論仍然成立。

證明

引用以下引理：若${\displaystyle (X_{n})}$依分布收斂至${\displaystyle X}$，且${\displaystyle (Y_{n})}$依機率收斂至常數${\displaystyle c}$，則聯合向量${\displaystyle (X_{n},Y_{n})}$依分布收斂到${\displaystyle (X,c)}$。^[4]

現對上述依分布的收斂使用連續映射定理。由${\displaystyle f(x,y)=x+y}$，${\displaystyle g(x,y)=xy}$，${\displaystyle h(x,y)=xy^{-1}}$定義的函數${\displaystyle f,g,h}$皆為連續函數（為使${\displaystyle h}$連續，要求${\displaystyle y}$可逆），故由連續映射定理，史拉斯基定理成立。

參見

• 隨機變數的收斂