合流超幾何函數

在特殊函數中，合流超幾何函數（confluent hypergeometric function）定義為合流超幾何方程的解。它是高斯超幾何函數的極限情形，相當於超幾何方程中的兩個正則奇點 1 和 ∞ 合流為一個非正則奇點 ∞，因而得名。

根據所選擇的參變量與宗量的不同，合流超幾何函數有多種標準形式，常見的有：

• Kummer 函數（第一類合流超幾何函數）M(a,b,z) 是 Kummer 方程的解。注意有另一個相異且無關的函數也被稱為 Kummer 函數；
• Tricomi 函數（第二類合流超幾何函數）U(a,b,z)是 Kummer 方程的另一個線性無關的解，有時會寫成 Ψ(a,b,z)；
• 惠泰克函數 是惠泰克方程的解，惠泰克方程里的參數與 Kummer 方程的參數所對應的李代數參數相關^{[注 1]}；

Kummer 方程

根據廣義超幾何函數的性質，超幾何函數 w(z)=₁F₁(a;b;z) 滿足的微分方程為：

${\displaystyle z\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b-1\right)w}$.

展開後就得到 Kummer 方程^[1]，

${\displaystyle z{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+(b-z){\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-aw=0}$,

它在正則奇點 0 附近的一個正則解為 Kummer 函數：

${\displaystyle M(a,b,z)=\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)^{(n)}}{(b)^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}$

式中 (a)⁽ⁿ⁾ 是升階乘的 Pochhammer 記號。

Kummer 函數是高斯超幾何函數的極限情形^[1]：

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=\lim _{b\rightarrow \infty }\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})}$

高斯超幾何方程在正則奇點 0 附近的另一個正則解為：

${\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

按照相同的極限過程，可知 Kummer 方程的另一個正則解為（這裡的 b 等同於上式的 c）：

${\displaystyle z^{1-b}\,_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}$

但是，傳統上並不把這個正則解定義為第二類合流超幾何函數。Tricomi 函數定義為它們的線性組合^[2]：

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a-b+1)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).}$

它與另一個廣義超幾何函數有下列關係^[3]：

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1})}$

但此時上面的超幾何函數對應的級數不收斂，需要通過另外的方式來定義（如積分表達式）。更常見的是下面的表述，它將 ₂F₀ 對應的超幾何級數視為漸近級數。

${\displaystyle U(a,b,z)\approx z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1}),\quad z\rightarrow \infty ,|\arg z|<{\frac {3\pi }{2}}}$

Kummer 函數是整函數，而 Tricomi 函數一般有奇點 0。

可轉化為 Kummer 方程的二階線性常微分方程

大部分係數為自變量 z 的一次函數的二階線性常微分方程都可以通過變量代換轉換成 Kummer 方程。對方程

${\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

先將 A+Bz 用一個新的 z 代換，就可以將二階項前面的係數化為 Kummer 方程的形式：

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

這裡的 C,D,E,F 是作代換後得到的新的值。然後將 z 用 (D²-4F)^-1/2z 代換，並將整個式子乘以相同的常數，得到：

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0}$

它的解為，

${\displaystyle w(z)=\exp[-(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {z}{2}}]f(z),\quad f(z)=k_{1}M(a,C,z)+k_{2}U(a,C,z),\quad a=(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {C}{2}}-{\tfrac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},k_{1},k_{2}\in \mathbb {C} }$

李代數參數與惠泰克方程

Kummer 方程的李代數參數^{[注 1][3]}定義為

${\displaystyle \alpha =b-1,\theta =2a-b,}$

其中第一個李代數參數是 z=0 處兩個正則解的指標之差。而第二個李代數參數對於 z=0 處的兩個正則解給出相同的值。這時 z=0 處的兩個正則解可以表示為

${\displaystyle F_{\alpha ,\theta }(z){\text{ and }}z^{-\alpha }F_{-\alpha ,\theta }(z)}$

惠泰克方程的形式為：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0.}$

它的兩個線性無關的解為惠泰克函數，與第一類、第二類合流超幾何函數有下列關係^[1]：

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

注意到

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}F_{2\mu ,-2\kappa }(z)}$

故惠泰克方程中的參數實際上與 Kummer 方程對應的李代數參數等價，兩者之間只差一個常數倍。

積分表示

合流超幾何函數的很多性質可以通過高斯超幾何函數得到，高斯超幾何函數的積分表示為：

${\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a)\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})=\int _{1}^{\infty }t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-{\tfrac {z}{b}})^{-b}\mathrm {d} t=\int _{1}^{\infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}(1-{\tfrac {z}{bt}})^{-b}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0,|\arg(1-{\tfrac {z}{b}})|<\pi }$

式中的 Β 是beta函數。

兩邊取極限後就得到（第一類）合流超幾何函數的積分表示^[3]：

${\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a)\,{}_{1}F_{1}(a;c;z)=\int _{1}^{\infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}e^{\tfrac {z}{t}}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0}$

第二類合流超幾何函數的積分表示為^[3]：

${\displaystyle \Gamma (a)U(a,b,z)=\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad \Re (a)>0}$

變換公式

高斯超幾何函數的 Pfaff 變換公式為：

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})=(1-{\tfrac {z}{b}})^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {1}{b}}{\tfrac {bz}{z-b}}),\quad |\arg(1-{\tfrac {z}{b}})|<\pi }$

兩邊取極限得到（第一類）合流超幾何函數的 Kummer 變換公式^[2]：

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=e^{z}\,{}_{1}F_{1}(c-a;c;-z)}$

第二類合流超幾何函數的 Kummer 變換公式為^[2]：

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)}$.

特殊情形

很多特殊函數都是合流超幾何函數的特殊情形。

柱函數

第一類、第二類虛宗量貝索函數可以分別表示為^[1]：

${\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {z^{\nu }}{2^{\nu }e^{z}\Gamma (\nu +1)}}M(\nu +{\frac {1}{2}},2\nu +1,z)}$

${\displaystyle K_{\nu }(z)={\sqrt {\pi }}(2z)^{\nu }e^{-z}U(\nu +{\frac {1}{2}},2\nu +1,z)}$

Γ, 誤差函數

不完全伽瑪函數可以表示為^[1]：

${\displaystyle \gamma (a,z)={\frac {z^{a}}{a}}M(a,a+1,-z),\quad a\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}$

${\displaystyle \Gamma (a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)}$

誤差函數可以表示為^[1]：

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}M({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-z^{2})}$

正交多項式及相關函數

拉蓋爾函數可以表示為^[1]：

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(z)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,z),\quad \alpha \notin \mathbb {Z} ^{-}}$

其中的二項式係數用貝塔函數來定義。

（物理學上的）厄米多項式可以表示為^[1]：

${\displaystyle H_{n}(z)=2^{n}U(-{\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}},z^{2}),\quad n\in \mathbb {Z} _{0}^{+},\Re (z)>0}$