埃爾米特多項式

在數學中，埃爾米特多項式（Hermite polynomials）是一種經典的正交多項式族，得名於法國數學家夏爾·埃爾米特。機率論裡的埃奇沃斯級數的表達式中就要用到埃爾米特多項式。在組合數學中，埃爾米特多項式是阿佩爾方程式的解。物理學中，埃爾米特多項式給出了量子諧振子的本徵態。

定義

前六個（機率論中的）埃爾米特多項式的圖像。

埃爾米特多項式有兩種常見定義。

第一種是機率論中較為常用的形式（記作：${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)}$）：

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}$

另一種是物理學中較為常用的形式（記作：${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)}$）：

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!}$

物理學捨棄了常係數0.5，兩定義之間的關係是：

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x).\,\!}$

機率論中常用第一種定義，因為${\displaystyle {\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}}$是標準常態分布函數（數學期望值等於0，標準差等於1）的機率密度函數。

前六個（物理學中的）埃爾米特多項式的圖像。

前六個機率學和物理學中的埃爾米特多項式

序號	機率學	物理學
${\displaystyle H_{0}(x)}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle 1\,}$
${\displaystyle H_{1}(x)}$	${\displaystyle x\,}$	${\displaystyle 2x\,}$
${\displaystyle H_{2}(x)}$	${\displaystyle x^{2}-1\,}$	${\displaystyle 4x^{2}-2\,}$
${\displaystyle H_{3}(x)}$	${\displaystyle x^{3}-3x\,}$	${\displaystyle 8x^{3}-12x\,}$
${\displaystyle H_{4}(x)}$	${\displaystyle x^{4}-6x^{2}+3\,}$	${\displaystyle 16x^{4}-48x^{2}+12\,}$
${\displaystyle H_{5}(x)}$	${\displaystyle x^{5}-10x^{3}+15x\,}$	${\displaystyle 32x^{5}-160x^{3}+120x\,}$

性質

多項式H_n 是一個n次的多項式。機率論的埃爾米特多項式是首一多項式（最高次項係數等於1），而物理學的埃爾米特多項式的最高次項係數等於2ⁿ。

正交性

多項式H_n 的次數與序號n 相同，所以不同的埃爾米特多項式的次數不一樣。對於給定的權函數 w，埃爾米特多項式的序列將會是正交序列。

${\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\!}$   （機率論）

${\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\!}$   （物理學）

也就是說，當m ≠ n 時：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,\mathrm {d} x=0}$

除此之外，還有：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {prob} }(x)H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!\,{\sqrt {2\pi }}\delta _{mn}}$   （機率論）

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {phys} }(x)H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=n!\,2^{n}{\sqrt {\pi }}\delta _{mn}}$   （物理學）

其中${\displaystyle \delta _{mn}}$是克羅內克函數。

從上式可以看到，機率論中的埃爾米特多項式與標準常態分布正交。

完備性

在所有滿足

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,w(x)\,\mathrm {d} x<\infty }$

的函數所構成的完備空間中，埃爾米特多項式序列構成一組基。其中的內積定義如下：

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,\mathrm {d} x}$

埃爾米特微分方程式

機率論中的埃爾米特多項式是以下微分方程式的解:

${\displaystyle (e^{-x^{2}/2}u')'+\lambda e^{-x^{2}/2}u=0}$

方程式的邊界條件為：${\displaystyle u}$應在無窮遠處有界。

其中${\displaystyle \lambda }$是這個方程式的本徵值，是一個常數。要滿足上述邊界條件，應取${\displaystyle \lambda }$∈${\displaystyle \mathbb {N} }$。對於一個特定的本徵值${\displaystyle \lambda }$，對應著一個特定的固有函數解，即${\displaystyle H_{\lambda }^{prob}(x)}$。

而物理學中的埃爾米特多項式則是以下微分方程式的解:

${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0}$

其本徵值同樣為${\displaystyle \lambda }$∈${\displaystyle \mathbb {N} }$，對應的固有函數解為${\displaystyle H_{\lambda }^{phys}(x)}$。

以上兩個微分方程式都稱為埃爾米特方程式。

參考文獻

• Arfken, Mathematical Methods for Physicists
• B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
• Bayin, S.S. (2006) Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 4.
• Courant, Richard; Hilbert, David, Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience, 1953.
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G., Higher transcendental functions. Vol. II, McGraw-Hill, 1955
• Fedoryuk, M.V., H/h046980, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英語）.
• Szegő, Gábor, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, 1939, 1955 請檢查|date=中的日期值 (幫助)
• Wiener, Norbert, The Fourier Integral and Certain of its Applications, New York: Dover Publications, 1958, ISBN 0-486-60272-9
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. A Course of Modern Analysis 4th Edition. London: Cambridge University Press. 1962. 引文使用過時參數coauthors (幫助) 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Temme, Nico, Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, Wiley, New York, 1996

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. 埃尔米特多项式. MathWorld.