概週期函數

在數學中，概週期函數（或殆週期函數）是一類有近似於週期性質的函數，是連續週期函數的推廣。不同的週期函數由於週期不盡相同，其和、差或乘積不一定再是週期函數。概週期函數儘管未必有嚴格的週期性，但可擁有一些比週期函數更好的性質。這一概念首先於1925年被丹麥數學家哈那德·玻爾引進，後來赫曼·外爾、貝西科維奇等人也有研究和推廣^[1]。貝西科維奇（英語：Abram Samoilovitch Besicovitch）因概週期函數方面的貢獻獲得了1931年劍橋大學的亞當斯獎（英語：Adams Prize）^[2]。

定義

概週期函數有若干個等價定義。根據哈那德·玻爾引進的分析學上的定義，一個定義域在實數體上的連續函數${\displaystyle f}$ 如果滿足：對任意正實數${\displaystyle \epsilon }$，都存在實數${\displaystyle l(\epsilon )>0}$，使得任意長度為${\displaystyle l(\epsilon )}$ 的區間裡至少存在一個數${\displaystyle t}$，使得對於任意的${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$，都有：

${\displaystyle \left|f(x+t)-f(x)\right|<\epsilon }$^[3]

在高維歐幾里得空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中，也可以定義類似的概週期向量函數。

按照定義，所有週期函數都是概週期函數。

值域在復平面上的概週期函數與三角多項式函數有密切關係。哈那德·玻爾首先注意到這類型的函數是在研究有限項狄利克雷級數的時候。當把黎曼ζ函數：ζ(s) 截出有限項後，得到的是一些形如

${\displaystyle e^{(\sigma +{\rm {{i}t)\log n}}}\,}$

的項。其中的${\displaystyle \sigma +{\rm {{i}t=s}}}$。如果只考慮復平面上的一條豎直的直線（也就是說固定s 的實數部份${\displaystyle \sigma }$，而實數${\displaystyle t}$ 在正負無窮大之間變動），那麼實際上每一項變成：

${\displaystyle t\mapsto n^{\sigma }e^{(\log n)it}\,}$

如果只觀察有限個這樣的函數的和（以避免${\displaystyle \sigma <1}$ 時的解析開拓的問題），那麼由於對不同的n，${\displaystyle e^{(\log n)it}}$是線性獨立的，這個和不再是一個週期函數。

在相關研究中，哈那德·玻爾開始注意形如：

${\displaystyle t\mapsto \sum _{k=1}^{m}e^{i\lambda _{k}t}\,}$

的三角多項式函數。它是若干個週期互不相同的週期函數${\displaystyle e^{i\lambda _{k}t}\,}$的和。於是概週期函數的另一個定義出現了：如果對每個${\displaystyle \epsilon >0}$，都存在三角多項式函數：${\displaystyle T_{\epsilon }(x)}$，使得對於任意的${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$，都有：

${\displaystyle \left|f(x)-T_{\epsilon }(x)\right|<\epsilon }$

可以證明，這個定義與第一個定義是等價的^[1]。

例子

考慮若干三角多項式函數：

${\displaystyle f_{n}:\,x\longmapsto \sum _{k=1}^{n}\exp(i\lambda _{k}x)}$

其中${\displaystyle \lambda _{k}}$ 是複數。每一個${\displaystyle f_{n}}$ 都是週期函數，因此有限個${\displaystyle f_{n}}$ 的和仍然是概週期函數。然而，對於某些和函數，比如說：

${\displaystyle f:\,x\longmapsto \exp(ix)+\exp(i\pi x)}$

${\displaystyle f}$不是週期函數，但仍然是概週期函數。

性質

• 如同週期函數一樣，任何概週期函數都是有界的, 且均勻連續。
• 如果${\displaystyle f}$ 是概週期函數，那麼對於任意實數${\displaystyle a}$，${\displaystyle f(x+a)}$、${\displaystyle f(ax)}$、${\displaystyle af(x)}$、${\displaystyle |f(x)|}$ 也是概週期函數。
• 如果${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle g}$ 都是概週期函數，那麼${\displaystyle f+g}$、${\displaystyle f-g}$ 和${\displaystyle f\cdot g}$ 都是概週期函數。
• 如果${\displaystyle f(x)}$ 是概週期函數，${\displaystyle H}$是${\displaystyle f}$ 的值域到${\displaystyle \mathbb {R} }$上的均勻連續函數, 則${\displaystyle H(f(x))}$也是概週期函數。
• 如果概週期函數的序列${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$在實數軸上均勻收斂於函數${\displaystyle f(x)}$ ，則${\displaystyle f(x)}$ 也是概週期函數。
• 如果${\displaystyle f(x)}$ 是概週期函數, 則${\displaystyle f'(x)}$ 為概週期函數的充分必要條件是${\displaystyle f(x)}$ 的導函數${\displaystyle f'(x)}$ 均勻連續。
• 如果${\displaystyle f(x)}$ 是概週期函數，${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt}$，則${\displaystyle F(x)}$ 為概週期函數的充要條件為${\displaystyle F(x)}$ 有界^[3][1]。

參看

• 偽概週期函數
• 準週期函數
• 非週期函數
• 傅立葉級數
• 計算機音樂