垂足三角形

在幾何學上，垂足三角形（英語：Pedal triangle）是將一個點投影至三角形的邊上所得到的三角形。

三角形 ABC 為黑色，從 P 延伸出去的三條垂線為藍色，由此得到的垂足三角形 LMN 為紅色

具體地說，考慮一個三角形${\displaystyle ABC}$，選定一個異於頂點${\displaystyle A,B,C}$的點${\displaystyle P}$。通過${\displaystyle P}$對三角形的三邊做垂直線，將這些垂直線與${\displaystyle {\overleftrightarrow {BC}},{\overleftrightarrow {AC}},{\overleftrightarrow {AB}}}$的交點分別命名為${\displaystyle L,M,N}$，則三角形${\displaystyle LMN}$是一個垂足三角形。

性質

如果${\displaystyle ABC}$不是鈍角三角形，則其垂足三角形${\displaystyle LMN}$的內角角度分別為${\displaystyle 180^{\circ }-2A}$、${\displaystyle 180^{\circ }-2B}$、${\displaystyle 180^{\circ }-2C}$。^[1] 若${\displaystyle P}$點位於三角形${\displaystyle ABC}$的特殊中心上，則有一些特殊情況：

• 若${\displaystyle P}$是${\displaystyle ABC}$的垂心，則${\displaystyle LMN}$是垂心三角形（英語：Orthic triangle）。
• 若${\displaystyle P}$是${\displaystyle ABC}$的內心，則${\displaystyle L,M,N}$是${\displaystyle ABC}$之內切圓的三個切點。
• 若${\displaystyle P}$是${\displaystyle ABC}$的外心，則${\displaystyle LMN}$是中點三角形。

若${\displaystyle P}$點以三角形${\displaystyle ABC}$為基準的三線坐標是${\displaystyle p:q:r}$，則其垂足三角形的頂點${\displaystyle L,M,N}$坐標為：

${\displaystyle L=0:q+p\cos {C}:r+p\cos {B}}$

${\displaystyle M=p+q\cos {C}:0:r+q\cos {A}}$

${\displaystyle N=p+r\cos {B}:q+r\cos {A}:0}$

相關定理

P 在外接圓上的情形，此時垂足三角形退化為一條線（紅色）

卡諾定理：紅色區域與藍色區域的面積相等

西姆松定理

主條目：西姆松定理

若${\displaystyle P}$點位於${\displaystyle ABC}$的外接圓上，則${\displaystyle L,M,N}$共線，反之亦然。這條線被稱為垂足線（英語：Pedal line），又稱為西姆松線（英語：Simson line）。

卡諾定理

主條目：卡諾定理 (垂線)

${\displaystyle A,B,C,L,M,N}$六點滿足以下等式：^[2]

${\displaystyle {\overline {AN}}^{2}+{\overline {BL}}^{2}+{\overline {CM}}^{2}={\overline {NB}}^{2}+{\overline {LC}}^{2}+{\overline {MA}}^{2}}$

反垂足三角形

三角形 ABC 為紅色，從 P 延伸至頂點的三條線為藍色，由此得到的反垂足三角形 LMN 為黑色

過${\displaystyle A}$作一條垂直於${\displaystyle {\overline {PA}}}$的直線，過${\displaystyle B}$作一條垂直於${\displaystyle {\overline {PB}}}$的直線，過${\displaystyle C}$作一條垂直於${\displaystyle {\overline {PC}}}$的直線，則這三條直線構成的三角形稱為反垂足三角形（英語：Antipedal triangle）。在這個反垂足三角形中，設與${\displaystyle A}$相對的頂點為${\displaystyle A^{\prime }}$，與${\displaystyle B}$相對的頂點為${\displaystyle B^{\prime }}$，與${\displaystyle C}$相對的頂點為${\displaystyle C^{\prime }}$。

${\displaystyle ABC}$是${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}$在${\displaystyle P}$點上的垂足三角形，這也是其名稱的由來。

若${\displaystyle P}$點以三角形${\displaystyle ABC}$為基準的三線坐標是${\displaystyle p:q:r}$，則反垂足三角形的頂點${\displaystyle A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }}$坐標為：^[3]

${\displaystyle A^{\prime }=-(q+p\cos {C})(r+p\cos {B}):(r+p\cos {B})(p+q\cos {C}):(q+p\cos {C})(p+r\cos {B})}$

${\displaystyle B^{\prime }=(r+q\cos {A})(q+p\cos {C}):-(r+q\cos {A})(p+q\cos {C}):(p+q\cos {C})(q+r\cos {A})}$

${\displaystyle C^{\prime }=(q+r\cos {A})(r+p\cos {B}):(p+r\cos {B})(r+q\cos {A}):-(p+r\cos {B})(q+r\cos {A})}$

一個特殊的例子是，如果${\displaystyle P}$點位於內心，則該反垂足三角形以${\displaystyle ABC}$的三個旁心為頂點。