基本解方法

近十年來，在科學計算與數值模擬領域受到了廣泛的關注的基本解方法（method of fundamental solutions）是一種與邊界元方法相對應的無網格數值技術，選用微分算子的基本解作為插值基函數，成功將問題的維數降低一維，同時也避免了邊界元方法中複雜的奇異數值積分問題，在處理無限、薄體材料及反問題上比有限元法、有限體積法等基於網格的數值方法等更具有優勢。

為了避免基本解的源點奇異性，基本解方法需要在物理邊界外選取虛假邊界，其設置有較大的隨意性，同時也阻礙了基本解方法在實際中的廣泛應用。即使如此，基本解方法在處理無限域等問題中仍然是一種可取的技術手段，具有很大的優勢。

在一些文獻中，基本解方法也被稱為regular boundary element method、superposition method、desingularized method及charge simulation method等。

主要思路及公式

簡要介紹基本解方法的求解思路，以下述偏微分方程的求解過程為例，

${\displaystyle Lu=0,\ \ \left(x,y\right)\in \Omega ,}$

${\displaystyle u=g\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{D},}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}=h\left(x,y\right),\ \ h\left(x,y\right)\in \partial \Omega _{N},}$

其中 ${\displaystyle L}$ 是偏微分算子，${\displaystyle \Omega }$ 代表計算區域， ${\displaystyle \partial \Omega _{D}}$ 和 ${\displaystyle \partial \Omega _{N}}$ 分別為Dirichlet邊界和Neumann邊界，並且滿足${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega }$ 和${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cap \partial \Omega _{N}=\varnothing }$。 基本解方法採用微分算子的基本解近似數值解

${\displaystyle {{u}^{*}}\left(x,y\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right)}$ （*）

其中${\displaystyle r_{i}=\left\|\left(x,y\right)-\left(sx_{i},sy_{i}\right)\right\|}$為邊界節點${\displaystyle \left(x,y\right)}$和配置源點${\displaystyle \left(sx_{i},sy_{i}\right)}$的歐幾里得距離, ${\displaystyle {{\alpha }_{i}}}$為未知係數， ${\displaystyle \phi \left(\cdot \right)}$表示基本解且滿足

${\displaystyle L\phi =\delta \,}$

其中${\displaystyle \delta }$ 表示Dirac函數。源點${\displaystyle \left(sx_{i},sy_{i}\right)}$被布置在物理邊界外的虛假邊界上，從而避免了基本解的奇異性，進而將原問題轉化為如下矩陣方程

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\phi \left(\left.r_{j}\right|_{x_{i},y_{i}}\right)\\{\frac {\partial \phi \left(\left.r_{j}\right|_{x_{k},y_{k}}\right)}{\partial n}}\\\end{matrix}}\right]\ \cdot \ \alpha =\left({\begin{matrix}g\left(x_{i},y_{i}\right)\\h\left(x_{k},y_{k}\right)\\\end{matrix}}\right),}$

未知係數${\displaystyle {{\alpha }_{i}}}$可由上述矩陣方程唯一確定，進而由（*）式可計算出求解區域內任意點的數值解。

歷史及最近進展

基本解方法的思想最早在20世紀50年代末和60年代初就由V. D. Kupradze和M. A. Alexidze提出^[1]，直到20世紀70時代末才作為一種數值方法被R. Mathon 和R. L. Johnston提出^[2]。之後Mathon、Johnston and Graeme Fairweather等人針對基本解方法的應用發表了數篇相關論文^[3][4][5][6]. 儘管發展緩慢，但基本解方法確實已經成為一類解決實際物理問題的重要方法。

20世紀90年代，M. A. Golberg和C. S. Chen解決了基本解方法中的一個重大障礙，使得該方法可以求解非齊次方程和時變問題^[7][8]。最近研究進展表明基本解方法還可以用來求解含多變係數的偏微分方程^[9]，並且可以有效求解無限域問題、反問題^[10] 及自由邊界問題^[11] 等。

針對虛假邊界的設置帶給基本解方法的阻礙，近年來許多新型方法得到了深入研究，如邊界節點法（boundary knot method）、奇異邊界法（singular boundary method）、正則化無網格方法（regularized meshless method）等。

參閱

• 徑向基函數
• 邊界元法
• 邊界節點法
• 邊界粒子法
• 奇異邊界法