邊界粒子法

在應用數學領域，邊界粒子法不需要內部布點，僅需邊界離散計算非齊次偏微分方程，因此是一種真正意義上的邊界型無網格方法。數值算例表明，邊界粒子法具有譜收斂，無需積分和網格生成，數學簡單，編程容易，矩陣對稱等優點。而且，邊界粒子法僅需邊界布點，因此在計算僅部分邊界數據可測的數學物理反問題上，比其他數值方法有著固有的優勢。

歷史及研究現狀

近幾十年來，雙重互易方法^[1]和多重互易方法^[2]作為兩種應用廣泛的方法，結合邊界離散技術被廣泛應用到非齊次偏微分方程的求解中，例如邊界元方法與雙重互易方法和多重互易方法分別相結合得到的DR-BEM和MR-BEM在邊界元應用領域就很受歡迎。

由於在處理非齊次物理力學問題時具有簡單易用，效率高，可靈活處理等優點，因此在採用邊界型數值技術求問題特解時，雙重互易法成為一種有效的方法。然而，雙重互易法需要在區域內部布點以保證求解過程中的收斂性和穩定性，因此這種方法並非真正意義上的邊界型方法。

相比而言，多重互易法在處理非齊次問題時則無須在內部布點，是一種真正意義上的邊界型方法。然而，傳統的多重互易法與雙重互易法相比有很多不足之處。它在建立插值矩陣時計算非常耗時，而且在消除非齊次項過程中採用高階拉普拉斯算子，導致其在求解含複雜源項的非齊次問題時比較困難，應用範圍受到限制。

為了克服這些缺點，最近一類改進的多重互易法被提出，稱為遞歸複合多重互易方法)^[3][4]。其主要思想是在消除非齊次項時採用了高階複合微分算子，而非單一的高階Laplace算子，這使得多重互易法可以處理更多形式的非齊次問題，而且提高了計算效率。

邊界粒子法是一種基於多重互易法的用來求解非齊次方程的方法，它是一種邊界離散型無網格方法，類似於基本解方法、邊界節點法、正則化無網格方法、奇異邊界法及Trefftz方法等。邊界粒子法目前被應用於求解各類問題，例如非齊次Helmholtz方程、convection-diffusion方程等。數值算例表明邊界粒子法的插值表達式也可以被看作小波級數的展開式。

邊界粒子法可以採用高階基本解或徑向基函數通解、調和函數^[5]及Trefftz 函數^[6]等作為插值基函數求解Helmholtz方程^[3]、Possion方程^[4]及薄板彎曲等問題^[7]。由於其只在邊界布點的優勢，邊界粒子法在只有僅部分邊界數據可測的數學物理反問題計算中具有一定優勢。目前邊界粒子法已經成功用於Possion方程^[8]及非齊次Helmholtz方程^[9]的柯西反問題。

更多評論

邊界粒子法在處理含複雜源項，例如不光滑函數、梯度變化大的函數或一組離散點數據等問題時，還有待於進一步研究。採用邊界粒子法可使用以下思路求解這些問題：

（1）複雜函數或者一組離散點數據可以變換成一系列多項式函數或三角函數的線性組合。從而，採用多重互易法可以很容易地將非齊次方程轉化為高階齊次方程，進而，用邊界粒子法僅需邊界數據即可求解問題。

（2）可以引入區域分解法，結合邊界粒子法求解含大梯度函數源項的問題。

相關資料

• 無網格方法
• 徑向基函數
• 邊界元法
• Trefftz方法
• 基本解方法
• 邊界節點法
• 奇異邊界法
• 正則化無網格法