完整群

提示：此條目的主題不是完整。

微分幾何中，一個微分流形上的聯絡的完整^[1]（英語：holonomy，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移動一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。

流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼幾何中列維-奇維塔聯絡的和樂（稱為黎曼和樂）。向量叢聯絡的和樂、嘉當聯絡的和樂，以及主叢聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關，見安布羅斯-辛格定理。

對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由Élie Cartan （1926）引入，以用於對稱空間（英語：symmetric space）的分類上。然而，很久以後，和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年， 喬治·德拉姆證明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切叢可分解成局域和樂群作用下不變的子空間，則該流形分解為黎曼流形的笛卡兒積。稍後，於1953年，馬塞爾·伯格（英語：Marcel Berger） 給出所有不可約和樂的分類^[2]。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論。

定義

向量叢聯絡的和樂

設 M 為光滑流形，E 為其上的 k 維向量叢，∇ 為 E 上的聯絡。給定 M 上一點 x 和以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 該聯絡定義了一個平行移動映射 P_γ : E_x → E_x. 該映射是可逆線性映射，因此是一般線性群 GL(E_x) 的元素。∇ 以 x 為基點的和樂群定義為

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{ 为 以}}\ \ x{\text{ 为 基 点 的 环 圈 }}\}.}$

以 x 為基點的限制和樂群是由可縮（英語：contractible）環圈 γ 給出的子群${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )}$.

若 M 連通，則不同基點 x 的和樂群 僅相差 GL(k, R) 的共軛作用。更具體說，若 γ 為 M 中由 x 到 y 的路徑，則

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.}$

選取 E_x 的另一組基（即以另一種方式將 E_x 視為與 R^k 等同）同樣會使和樂群變成 GL(k, R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中（下同），可將基點略去，但倘如此行，則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的重要性質包括：

• ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$ 是 GL(k, R) 的連通李子群。
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$ 是 ${\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )}$ 的單位連通支（英語：identity component）。
• 存在自然的滿群同態 ${\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),}$ 其中 ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ 是 M 的基本群。該同態將同倫類 ${\displaystyle [\gamma ]}$ 映到陪集 ${\displaystyle P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}$
• 若 M 單連通，則 ${\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}$
• ∇ 為平（即曲率恆零）若且唯若 ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$ 為平凡群。

在物理學中，威爾森迴圈是 tr(P)（特徵標理論的跡）。

主叢聯絡的和樂

主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 G 為李群，P 為仿緊光滑流形 M 上的主 G 叢。設 ω 為 P 上的聯絡。給定 M 中一點 x, 以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 以及 x 纖維上一點 p, 該聯絡定義了唯一的水平提升 ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P}$ 使得 ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=p.}$ 水平提升的終點 ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$ 未必是 p, 因為其可為 x 纖維上的另一點 p·g. 若兩點 p 和 q 之間有分段光滑的水平提升路徑連接，則稱 p ~ q. 如此，~ 是 P 上的等價關係。

ω 以 p 為基點的和樂群定義為

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.}$

若在定義中僅允許可縮（英語：contractible）環圈 γ 的水平提升，則得到以 p 為基點的受限和樂群 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$. 其為和樂群${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ 的子群。

若 M 和 P 皆連通，則不同基點 p 的和樂群僅在 G 互為共軛。更具體說，若 q 是另一個基點，則有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 於是，

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.}$

特別地，

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,}$

再者，若 p ~ q, 則 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).}$ 因此，有時可省略基點不寫，但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的若干性質包括：

• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ 是 G 的連通李子群。
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ 是 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ 的單位連通支（英語：identity component）。
• 存在自然的滿群同態${\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• 若 M 單連通，則 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• ω 為平（即曲率恆零）若且唯若 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ 為平凡群。

和樂叢

同上，設 M 為連通仿緊流形，P 為其上的主 G 叢，ω 為 P 上的聯絡。設 p ∈ P 為主叢上的任意一點。以 H (p) 表示 P 中可與 p 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 H (p) 連同其到 M 的投影也構成 M 上的主叢，且具有結構群 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$（即 H (p) 是主 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ 叢）。 此主叢稱為該聯絡 ω 經過 p 的和樂叢。ω 限制到 H (p) 上也是一個聯絡，因為其平行移動映射保持 H (p) 不變。故 H (p) 是該聯絡的約化主叢。此外，H (p) 任何真子叢都不被平行移動保持，所以其在該類約化主叢之中為最小。^[3]

與和樂群類似，和樂叢在環繞它的主叢 P 中等變。具體說，若 q ∈ P 是另一個基點，則有 g ∈ G 使得 q ~ p g（按假設，M 是路連通的）。故 H (q) = H (p) g. 於是，兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的，即：兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 g.

單延拓群

和樂叢 H (p) 是主 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ 叢，因此受限和樂群 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$（作為全個和樂群的正規子群）也作用在 H (p) 上。離散群 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ 稱為聯絡的單延拓（英語：Monodromy）群。其作用在商叢 ${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ 上。存在滿同態${\displaystyle \varphi :\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ),}$ 使得 ${\displaystyle \varphi (\pi _{1}(M))}$ 作用在 ${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ 上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示。^[4]

局域及無窮小和樂

若 π: P → M 為主叢，ω 為 P 的聯絡，則 ω 的和樂可限制到 M 的開集的纖維上。若 U 為 M 的連通開集，則將 ω 限制到 U 上可得叢 π⁻¹U 的聯絡。該叢的和樂群記為 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U),}$ 而受限和樂群則記為 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U),}$ 其中 p 為滿足 π(p) ∈ U 的點。

若 U ⊂ V 為包含 π(p) 的兩個開集，則有包含關係

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$

p 點的局域和樂群定義為

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U_{k}),}$

其中 U_k 為任意一族滿足 ${\displaystyle \bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)}$ 的遞降（即 ${\displaystyle U_{k}\subset U_{k+1}\ \forall k}$ ）連通開集。

局域和樂群有以下性質：

1. 其為受限和樂群 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ 的連通李子群。
2. 每點 p 都有鄰域 V 使得 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$ 局域和樂群僅取決於 p, 而非序列 U_k 的選取。
3. 局域和樂群在結構群 G 的作用下等變，即對任意 g ∈ G, ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} (g^{-1})\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega ).}$（注意由性質 1, 局域和樂群是 G 的連通李子群，故伴隨 Ad 有定義。

局域和樂群不一定有全域的良好性質，例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而，有以下的定理：

• 若局域和樂群的維數恆定，則局域和樂群與受限和樂群相等，即${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$

詞源

英文Holonomy與「全純」（Holomorphic）相似，"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生夏爾·布里奧（法語：Charles Briot）（1817–1882）和讓-克勞迪·波桂（法語：Jean-Claude Bouquet）（1819–1895）引入，來自希臘文ὅλος（holos）和μορφή（morphē），意思分別是「全」、「形態」。^[5]

"Holonomy"與"holomorphic"的前半（holos）一樣。至於後半：

非常難在網絡上找出holonomic（或holonomy）的詞源。我找到（鳴謝普林斯頓的約翰·康威）：

我相信潘索（Louis Poinsot）最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中，若某種意義下，能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊，就叫一個和樂的 （"holonomic"）系統，所以它的意思「整體法則」（"entire-law"）很貼切。球在桌上滾動並不和樂，因為沿不同的路徑滾到同一點，可以使球的方向不同。然而，將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思，可能更多時解「數算」（counting）。它與我們的詞數字"number"來自同一個印歐詞根。

——S. Golwala^[6]

參見νόμος（nomos）和-nomy。

安布羅斯－辛格定理

安布羅斯－辛格定理（得名自Warren Ambrose and Isadore M. Singer （1953））描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理，先考慮較熟知的情況，如仿射聯絡、切叢聯絡（或其特例列維－奇維塔聯絡）。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈，就會感受到曲率。

引入更多細節，若${\displaystyle \sigma :[0,1]\times [0,1]\to M}$是${\displaystyle M}$中某曲面的坐標表示，則向量${\displaystyle V}$可以沿${\displaystyle \sigma }$的邊界平行移動，由原點出發，先沿${\displaystyle (x,0)}$，再沿${\displaystyle (1,y)}$，再${\displaystyle (x,1)}$（${\displaystyle x}$反方向，即由${\displaystyle 1}$遞減至${\displaystyle 0}$），最後${\displaystyle (0,y)}$，回到原點。此為和樂環圈的特例，因為向量${\displaystyle V}$沿該圈平行移動的結果，相當於${\displaystyle \sigma }$邊界的提升，對應的和樂群元素，作用在${\displaystyle V}$上。當平行四邊形縮至無窮小時（即沿更小的平行四邊形圈，對應${\displaystyle \sigma }$坐標中的區域${\displaystyle [0,x]\times [0,y]}$，而${\displaystyle x,y}$趨向於${\displaystyle 0}$），就會明確得到曲率。換言之，取平行移動映射於${\displaystyle x=y=0}$處的導數：

${\displaystyle {\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V}$

其中${\displaystyle R}$為曲率張量。^[7]所以，粗略而言，曲率給出閉環圈（無窮小平行四邊形）上的無窮小和樂。更嚴格地，曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之，${\displaystyle R(X,Y)}$是${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$的李代數的元素。

一般來說，考慮結構群為${\displaystyle G}$的主叢${\displaystyle P\to M}$某聯絡的和樂。以${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$表示${\displaystyle G}$的李代數，則聯絡的曲率形式是${\displaystyle P}$上的${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$值2-形式${\displaystyle \Omega }$。安布羅斯－辛格定理斷言：^[8]

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$的李代數，是由${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$中所有形如${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$的元素線性張成，其中${\displaystyle q}$取遍所有可以用水平曲線${\displaystyle (q\sim p)}$與${\displaystyle p}$連接的點，而${\displaystyle X,Y}$皆是${\displaystyle q}$處的水平切向量。

亦可用和樂叢的說法，複述如下：^[9]

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$的李代數，是${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$中形如${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$的元素張成的線性子空間，其中${\displaystyle q}$取遍${\displaystyle H(p)}$的元素，而${\displaystyle X,Y}$取遍${\displaystyle q}$處的水平向量。

黎曼和樂

可約和樂與德拉姆分解

設${\displaystyle x\in M}$為任意一點，則和樂群${\displaystyle \mathrm {Hol} (M)}$作用在切空間${\displaystyle T_{x}M}$上。視之為群的表示，則可能不可約，亦可能可約，即可以將${\displaystyle T_{x}M}$分解成正交子空間的直和

${\displaystyle T_{x}M=T'_{x}M\oplus T''_{x}M,}$

而兩個子空間皆在${\displaystyle \mathrm {Hol} (M)}$作用下不變。此時亦稱${\displaystyle M}$可約。

設${\displaystyle M}$為可約流形。上式說明，在每一點${\displaystyle x}$處，切空間可以約化分解成${\displaystyle T'_{x}M}$和${\displaystyle T''_{x}M}$，所以當${\displaystyle x}$變動時，就定義出向量叢${\displaystyle T'M}$和${\displaystyle T''M}$，兩者皆光滑分佈，且是弗比尼斯可積。兩個分佈的積分流形（英語：integral manifold）皆為完全測地（英語：Totally geodesic）子流形，換言之，子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察${\displaystyle M}$，是笛卡爾積${\displaystyle M'\times M''}$。重複上述分解，直到切空間完全約化，則得到（局部）德拉姆同構：^[10]

設${\displaystyle M}$為單連通黎曼流形，^[11]又設在和樂群的作用下，${\displaystyle TM=T^{(0)}M\oplus T^{(1)}M\oplus \cdots \oplus T^{(k)}M}$為切叢的完全約化分解，而和樂群在${\displaystyle T^{(0)}M}$上的作用平凡（恆等映射），則${\displaystyle M}$局部等距同構於乘積

${\displaystyle V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},}$

其中${\displaystyle V_{0}}$是歐氏開集，而每個${\displaystyle V_{i}}$是${\displaystyle T^{(i)}M}$的積分流形。更甚者，${\displaystyle \mathrm {Hol} (M)}$是${\displaystyle \mathrm {Hol} (M_{i})}$的直積（${\displaystyle M_{i}}$是${\displaystyle T^{(i)}}$過某點的極大積分流形）。

若同時假設${\displaystyle M}$測地完備（英語：geodesically complete）（每點每個方向的測地線皆可無限延伸），則定理不僅局部成立，而是全域成立，且各${\displaystyle M_{i}}$本身也是測地完備流形。^[12]

伯格分類

1955年，馬塞爾·伯格（英語：Marcel Berger）將不可約（並非局部等同積空間）、非對稱（並非局部地黎曼對稱（英語：Riemannian symmetric space））、單連通的黎曼流形，可能具有的和樂群，完全分類。伯格分類表如下：

${\displaystyle \mathrm {Hol} (g)}$	${\displaystyle \mathrm {dim} (M)}$	流形類型	備註
正交群${\displaystyle SO(n)}$	${\displaystyle n}$	可定向流形	—
酉群${\displaystyle U(n)}$	${\displaystyle 2n}$	凱勒流形	凱勒
特殊酉群${\displaystyle SU(n)}$	${\displaystyle 2n}$	卡拉比–丘流形	里奇平、凱勒
辛群${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$	${\displaystyle 4n}$	超凱勒流形（英語：Hyperkähler manifold）	里奇平、凱勒
${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)}$	${\displaystyle 4n}$	四元數凱勒流形（英語：Quaternion-Kähler manifold）	愛因斯坦（英語：Einstein manifold）
例外單李群（英語：G2 (mathematics)）${\displaystyle G_{2}}$	${\displaystyle 7}$	G2流形（英語：G2 manifold）	里奇平
旋量群${\displaystyle \mathrm {Spin} (7)}$	${\displaystyle 8}$	Spin(7)流形（英語：Spin(7) manifold）	里奇平

1965年，愛德蒙·博南（英語：Edmond Bonan）及Vivian Yoh Kraines同時研究和樂群為${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)}$的流形，構造出其平行4形式。

愛德蒙·博南（英語：Edmond Bonan）於1966年最早引入和樂群為${\displaystyle G_{2}}$或${\displaystyle \mathrm {Spin} (7)}$的流形，他構造出全部平行形式，並證明該些流形皆為里奇平。

伯格原先的表中，未排除${\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}$（作為${\displaystyle SO(16)}$的子群）。後來，迪米特里·阿列克謝耶夫斯基（Dmitri V. Alekseevsky）一人，與布朗（Brown）、格雷（Gray）二人，分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱，即與凱萊平面（英語：Cayley plane）${\displaystyle F_{4}/\mathrm {Spin} (9)}$局部等距同構，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現，見${\displaystyle G_{2}}$流形（英語：G2 manifold）和${\displaystyle \mathrm {Spin} (7)}$流形（英語：Spin(7) manifold）。

注意${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\subset SU(2n)\subset U(2n)\subset SO(4n)}$，故超凱勒流形（英語：hyperkähler manifold）必為卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必為凱勒，而凱勒流形必可定向。

以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的證明解釋。另有一個簡單幾何證明，由卡洛斯·奧爾莫斯（Carlos E. Olmos）於2005年給出。^[13]第一步要證，若黎曼流形並非局部對稱空間（英語：locally symmetric space），而約化和樂在切空間上的作用不可約，則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面：上表所列各項，以及兩個額外情況，分別是${\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}$（作用於${\displaystyle \mathbb {R} ^{16}}$），以及${\displaystyle U(1)\cdot \mathrm {Sp} (m)}$（作用於${\displaystyle \mathbb {R} ^{4m}}$）。最後，要驗證前者只能作為局部對稱空間（局部同構於的凱萊射影平面（英語：Cayley projective plane））的和樂群，而後者則根本不能作為和樂群出現。

伯格的原分類，尚有涵蓋非正定的偽黎曼度量，其給出非局部對稱和樂的可能列表為：

和樂群	度量符號（英語：Metric signature）
${\displaystyle SO(p,q)}$	${\displaystyle (p,q)}$
${\displaystyle U(p,q)}$	${\displaystyle (2p,2q)}$
${\displaystyle SU(p,q)}$	${\displaystyle (2p,2q)}$
${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)}$	${\displaystyle (4p,4q)}$
${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)\cdot \mathrm {Sp} (1)}$	${\displaystyle (4p,4q)}$
${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle (n,n)}$
${\displaystyle SO(n,\mathbb {H} )}$	${\displaystyle (2n,2n)}$
分裂${\displaystyle G_{2}}$	${\displaystyle (4,3)}$
${\displaystyle G_{2}(\mathbb {C} )}$	${\displaystyle (7,7)}$
${\displaystyle \mathrm {Spin} (4,3)}$	${\displaystyle (4,4)}$
${\displaystyle \mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle (7,7)}$
${\displaystyle (*)\ \mathrm {Spin} (5,4)}$	${\displaystyle (8,8)}$
${\displaystyle (*)\ \mathrm {Spin} (9,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle (16,16)}$

但是，標${\displaystyle (*)}$的兩種和樂群（分裂${\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}$及複化${\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}$），如同正定的情況，只能在局部對稱空間出現，故應予刪去。至於複化和樂群${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} ),G_{2}(\mathbb {C} ),\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )}$三種，可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為${\displaystyle SO(n,\mathbb {H} )}$子群的流形，R. McLean證明其為局部平。^[14]

對稱黎曼空間，因為局部與齊性空間${\displaystyle G/H}$同構，其局部和樂群同構於${\displaystyle H}$，經已分類完畢。

最後，伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射聯絡的流形的可能和樂群，見下節。

特殊和樂及旋量

一些流形具特殊的和樂，該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃（平行旋量即協變導數為零的旋量場），^[15]尤其有以下各項命題成立：

• ${\displaystyle \mathrm {Hol} (\omega )\subseteq U(n)}$，當且僅當${\displaystyle M}$上存在平行的射影純旋量場。
• 若${\displaystyle M}$為旋量流形（英語：spin structure），則${\displaystyle \mathrm {Hol} (\omega )\subseteq SU(n)}$，當且僅當${\displaystyle M}$具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上，平行純旋量場足以確定由結構群到${\displaystyle SU(n)}$的典範歸約。
• 若${\displaystyle M}$是七維旋量流形，則${\displaystyle M}$具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是${\displaystyle G_{2}}$的子群。
• 若${\displaystyle M}$為八維旋量流形，則${\displaystyle M}$具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是${\displaystyle \mathrm {Spin} (7)}$的子群。

么正與特殊么正和樂經常連帶扭量理論^[16]、殆複流形^[15]一同研究。

應用

弦論

具特殊和樂的黎曼流形，對弦論緊化很重要。^[17]原因是，特殊和樂流形上，存在共變常值（即平行）旋量，於是保一部分超對稱。較重要的緊化是在具${\displaystyle SU(2)}$或${\displaystyle SU(3)}$和樂的卡拉比–丘流形上，以及${\displaystyle G_{2}}$流形（英語：G2 manifold）上。

機器學習

在機器學習，尤其流形學習（英語：manifold learning）方面，曾有人提出，藉計算黎曼流形的和樂，得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構，其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限，無法完全準確計算出和樂群，但利用來自譜圖論的思想（類似向量擴散映射（英語：Diffusion map）），有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」（英語：Geometric Manifold Component Estimator，簡寫GeoManCEr「探地者」），能給出德拉姆分解的數值近似，並應用於現實數據。^[18]

仿射和樂

仿射和樂群（英語：affine holonomy groups），是無撓仿射聯絡的和樂群；其中一些不能作為（偽）黎曼和樂群出現，稱為非度量和樂群（英語：non-metric holonomy groups）。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群，所以離完成分類尚有很遠，但仍可以將不可約的仿射和樂分類。

伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中，發現對於非局部對稱（英語：symmetric space）的無撓仿射聯絡而言，和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則（英語：Berger's first criterion）是安布羅斯－辛格定理（即曲率張量生成和樂的李代數，見前節）的後果；而第二準則，來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則，且作用不可約的群，可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。

但伯格的列表，其後證實並未齊全。羅伯特·布萊恩特（英語：Robert Bryant (mathematician)）（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有時稱為「怪和樂」（exotic holonomies）。努力搜索例子之後，最終由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可約仿射和樂群的分類，而反方向的結果則由布萊恩特（2000年）證明，即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。

觀察到表中的群和埃爾米特對稱空間（英語：hermitian symmetric space）、四元數凱勒對稱空間（英語：quaternion-Kähler symmetric space）之間有聯繫之後，Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確，見於Schwachhöfer（2001）。

設${\displaystyle V}$為有限維複向量空間，${\displaystyle H\subseteq \mathrm {Aut} (V)}$為不可約半單複連通李子群，又設${\displaystyle K\subseteq H}$為極大緊子群。

1. 若有不可約埃爾米特對稱空間形如${\displaystyle G/(U(1)\cdot K)}$，則${\displaystyle H}$和${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\cdot H}$兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群，其中${\displaystyle V}$為${\displaystyle K}$的切表示。
2. 若有不可約四元數凱勒對稱空間形如${\displaystyle G/(\mathrm {Sp} (1)\cdot K)}$，則${\displaystyle H}$為非對稱不可約仿射和樂群，而當${\displaystyle \dim V=4}$時，${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\cdot H}$亦然。此時，${\displaystyle \mathrm {Sp} (1)\cdot K}$的複化切表示是${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes V}$，而${\displaystyle H}$保${\displaystyle V}$上某個複辛形式。

上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群，例外僅有：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2n}\right),\\G_{2}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{7}\right),\\\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{8}\right).\end{aligned}}}$

利用埃爾米特對稱空間的分類，第一族的複仿射和樂群有：

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(m,\mathbf {C} )\cdot SL(n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{m}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{16}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot E_{6}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{27}\right),\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle Z_{\mathbb {C} }}$可取平凡群，亦可取為${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$。

同樣，用四元數凱勒對稱空間的分類，第二族複辛和樂群有：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\(Z_{\mathbb {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(2,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbb {C} ^{2}\right),\\\mathrm {Sp} (6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{14}\right),\\SL(6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{3}\mathbb {C} ^{6}\right),\\\mathrm {Spin} (12,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{32}\right),\\E_{7}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{56}\right).\\\end{aligned}}}$

（第二行中，${\displaystyle Z_{\mathbb {C} }}$必須取為平凡群，除非${\displaystyle n=2}$，此時可取為${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$。）

從以上各列表，可以觀察出一個結論，類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面：複和樂表示皆為預齊性向量空間（英語：prehomogeneous vector space）。但是，未知此事實的概念性證明。

不可約實仿射和樂的分類，用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論，結合上表，仔細分析便得。

參見

• A-B效應