对位证明法

對位證明法^[1]（英語：proof by contrapositive，又或者proof by negation），或稱否定證明法、逆否命題法^[2]，是邏輯數學的其中一個證明方法。其與反證法相似，但是是不同的概念。根據邏輯，「${\displaystyle A\to B}$」等於「${\displaystyle \neg B\to \neg A}$」，即取其逆否命題。^[3]

需要注意，對位證明法與反證法不同。

定義

給予給予初始實質條件命題「若P，則Q」：${\displaystyle A\to B}$，對位證明法證明其邏輯等價的逆否命題「若非Q，則非P」：${\displaystyle \neg B\to \neg A}$的真值。

邏輯上，對立證明法的可用性可以以比較逆否命題和原命題的真值表證明，即證明${\displaystyle A\to B}$和${\displaystyle \neg B\to \neg A}$的真值完全一樣：

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle \neg A}$	${\displaystyle \neg B}$	${\displaystyle A\to B}$	${\displaystyle \neg B\to \neg A}$
T	T	F	F	T	T
T	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

例子

• 「我的媽媽是女人。」需要證明的逆否命題是「不是女人就不是我的媽媽。」
• 「若${\displaystyle x}$是單數，則${\displaystyle x+1}$是雙數。」需要證明的逆否命題是「若${\displaystyle x+1}$不是雙數，則${\displaystyle x}$不是單數。」

反證法與對立證明的分別

反證法：假設 ${\displaystyle \neg A}$ 正確，${\displaystyle \neg A\to B}$，發現 ${\displaystyle B}$ 不對，於是證明 ${\displaystyle A}$ 正確。

否定證明：證明 ${\displaystyle A\to B}$ 正確，於是轉換證明 ${\displaystyle \neg B\to \neg A}$ 正確。

證明例子

證明「假設 ${\displaystyle x^{2}}$ 是雙數，則${\displaystyle x}$ 都會是雙數。」

證明：

逆否命題：「假設 ${\displaystyle x}$ 不是雙數，則 ${\displaystyle x^{2}}$ 也不是雙數。」

換句話講，即係「假設 ${\displaystyle x}$ 是單數，則 ${\displaystyle x^{2}}$ 也是單數。」

因為 ${\displaystyle x}$ 是單數，所以 ${\displaystyle x=2k+1,k\in \mathbb {Z} }$ 的${\displaystyle k}$是整數。

${\displaystyle x^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+2k+1=2(2k^{2}+k)+1}$

因為 ${\displaystyle 2k^{2}+k}$ 是整數，所以 ${\displaystyle x^{2}}$ 是單數。

集合論例子

如果 ${\displaystyle A,B,C,D}$ 都是集（set），而他們符合 ${\displaystyle C\backslash D\subset A\cap B}$ 和 ${\displaystyle x\in C}$。證明如果 ${\displaystyle x\notin A}$，則 ${\displaystyle x\in D}$。

證明：

如果用直接證明，會很麻煩。但是，如果利用對立證明，即假設 ${\displaystyle x\notin D}$則會簡單得多。

因為 ${\displaystyle x\in C}$，而 ${\displaystyle C\backslash D\subset A\cap B}$，所以 ${\displaystyle x\in A\cap B}$。

這樣 ${\displaystyle x\in A}$ 一定成立。

更多例子

以下命題都可以用對立證明證真：

• 假設 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {N} }$ 都是自然數。如果 ${\displaystyle xy}$ 是單數，則 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 都是單數。
• 假設 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ 都是實數。如果 ${\displaystyle x+y}$ 是無理數，則 ${\displaystyle x}$ 或者 ${\displaystyle y}$ 是無理數。

參見

• 直接證明
• 窮舉法
• 數學歸納法
• 反證法
• 歸謬法