局部可積函數

在數學中，局部可積函數是指在定義域內的所有緊集上都可積的函數。

常見定義

設${\displaystyle \Omega }$為歐幾里得空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的一個開集。設${\displaystyle \scriptstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$是一個勒貝格可測函數。如果函數${\displaystyle f}$在任意緊集${\displaystyle K\subset \Omega }$上的勒貝格積分都存在：

${\displaystyle \int _{K}|f|\mathrm {d} x<+\infty \,}$

那麼就稱函數${\displaystyle f}$為一個${\displaystyle \Omega }$-局部可積的函數^[1]。所有在${\displaystyle \Omega }$上局部可積的函數的集合一般記為${\displaystyle \scriptstyle L_{loc}^{1}(\Omega )}$：

${\displaystyle L_{loc}^{1}(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} ,\right.}$可測${\displaystyle \left.\left|\ f\in L^{1}(K),\ \forall K\in {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}\right.\right\}}$

其中${\displaystyle \scriptstyle {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}}$指${\displaystyle \Omega }$包含的所有的緊集的集合。

一般測度空間

對於更一般的測度空間${\displaystyle (X,d\mu )}$，也可以類似地定義其上的局部可積函數^[2]。

性質

• 所有${\displaystyle \Omega }$上的連續函數與可積函數都是${\displaystyle \Omega }$-局部可積的函數。如果${\displaystyle \Omega }$是有界的，那麼${\displaystyle \Omega }$上的L²函數也是${\displaystyle \Omega }$-局部可積的函數^[3]。
• 局部可積函數都是幾乎處處有界的函數${\displaystyle (X,d\mu )}$，也可以類似地定義其上的局部可積函數^[4]。
• 複數值的函數${\displaystyle f}$是局部可積函數，若且唯若其實部函數 ${\displaystyle Re(f):x\to Re\left(f(x)\right)}$與虛部函數 ${\displaystyle Im(f):x\to Im\left(f(x)\right)}$都是局部可積函數。實數值的函數${\displaystyle f}$是局部可積函數，若且唯若其正部函數 ${\displaystyle f_{+}:x\to \left(f(x)\right)_{+}}$與負部函數 ${\displaystyle f_{-}:x\to \left(f(x)\right)_{-}}$都是局部可積函數^[4]。

相關條目

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