布爾不等式

布爾不等式（英語：Boole's inequality），由喬治·布爾提出，指對於全部事件的機率不大於單個事件的機率總和。

對於事件A₁、A₂、A₃、......：

${\displaystyle P(\bigcup _{i}A_{i})\leq \sum _{i}P(A_{i})}$

在測度論上，布爾不等式滿足σ次可加性。

證明

布爾不等式可以用數學歸納法證明。

對於1個事件：

${\displaystyle P(A_{1})\leq P(A_{1})}$

對於n個事件：

${\displaystyle P(\bigcup _{i=_{1}}^{n}A_{i})\leq \sum _{i=_{1}}^{n}P(A_{i})}$

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$

${\displaystyle P(\bigcup _{i=_{1}}^{n+1}A_{i})=P(\bigcup _{i=_{1}}^{n}A_{i})+P(A_{n+1})-P(\bigcup _{i=_{1}}^{n}A_{i}\cap A_{n+1})}$

${\displaystyle P(\bigcup _{i=_{1}}^{n}A_{i}\cap A_{n+1})\geq 0,}$

${\displaystyle P(\bigcup _{i=_{1}}^{n+1}A_{i})\leq P(\bigcup _{i=_{1}}^{n}A_{i})+P(A_{n+1})}$

${\displaystyle P(\bigcup _{i=_{1}}^{n+1}A_{i})\leq \sum _{i=_{1}}^{n}P(A_{i})+P(A_{n+1})=\sum _{i=_{1}}^{n+1}P(A_{i})}$.

使用馬可夫不等式的證明

令${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}}$是任意機率事件。${\displaystyle X}$是各種事件${\displaystyle A_{i}}$的發生次數的隨機變數。顯然有：

${\displaystyle E(X)=P(A_{1})+P(A_{2})+\cdots +P(A_{n})=\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})}$

因為${\displaystyle X}$是非負隨機變數，應用馬可夫不等式，取${\displaystyle a=1}$，有：

${\displaystyle P(X\geqslant 1)\leqslant E(X)=\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})}$

注意到${\displaystyle P(X\geqslant 1)=P(\bigcup _{i=_{1}}^{n}A_{i})}$

邦佛洛尼不等式

布爾不等式可以推導出事件聯集的上界和下界，其關係稱為邦佛洛尼不等式 。

定義：

${\displaystyle S_{1}=\sum _{i=1}^{n}P(A_{i}),}$

${\displaystyle S_{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}P(A_{i}\cap A_{j}),}$

${\displaystyle S_{k}=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}P(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})}$

對於奇數k：

${\displaystyle P(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i})\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}S_{j}}$

對於偶數k：

${\displaystyle P(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i})\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}S_{j}}$

參見

• 容斥原理

參考資料

• Bonferroni, Carlo E., Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilità, Pubbl. d. R. Ist. Super. di Sci. Econom. e Commerciali di Firenze, 1936, 8: 1–62, Zbl 0016.41103 （義大利語）
• Dohmen, Klaus, Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion–Exclusion Type, Lecture Notes in Mathematics 1826, Berlin: Springer-Verlag: viii+113, 2003, ISBN 3-540-20025-8, MR 2019293, Zbl 1026.05009
• Galambos, János; Simonelli, Italo, Bonferroni-Type Inequalities with Applications, Probability and Its Applications, New York: Springer-Verlag: x+269, 1996, ISBN 0-387-94776-0, MR 1402242, Zbl 0869.60014
• Galambos, János, Bonferroni inequalities, Annals of Probability, 1977, 5 (4): 577–581 [2014-01-12], JSTOR 2243081, MR 0448478, Zbl 0369.60018, doi:10.1214/aop/1176995765, （原始內容存檔於2020-07-25）