希爾伯特模形式

在數學中，希爾伯特模形式是一類自守形式，對應於全實域 ${\displaystyle K}$ 及相應的群 ${\displaystyle \mathrm {Res} _{K/\mathbb {Q} }GL(2)_{K}}$。這可以視作模形式的一種多變元推廣。當 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ 時，我們回到模形式的定義。

定義

對於 ${\displaystyle m}$ 次全實域 ${\displaystyle K}$、${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ 為其中的代數整數環、 ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m}:K\to \mathbb {R} }$ 為相應的實嵌入映射。由此得到嵌入映射

${\displaystyle \mathrm {GL} (2,F)\to \mathrm {GL} (2,\mathbb {R} )^{m},\quad g\mapsto (\sigma _{1}(g),\ldots ,\sigma _{m}(g))}$

設 ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathrm {GL} (2,\mathbb {R} )/\mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )}$ 為上半平面，透過上述嵌入，${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(2,{\mathcal {O}})}$（指 ${\displaystyle \mathrm {GL} (2,{\mathcal {O}})}$ 中行列式為正的元素）作用於 ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ 上。

對 ${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in GL(2,\mathbb {R} )}$，定義自守因子之值為

${\displaystyle j(g,z)=(\det g)^{-{\frac {1}{2}}}(cz+d)}$

權為 ${\displaystyle (k_{1},\cdots ,k_{m})}$ 之希爾伯特模形式是指 ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ 上滿足下述函數方程的全純函數

${\displaystyle \forall \gamma \in \mathrm {GL} ^{+}(2,{\mathcal {O}}),\;f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j(\sigma _{i}(\gamma ),z_{i})^{k_{i}}f(z).}$

此定義與模形式的差異在於：當 ${\displaystyle K\neq \mathbb {Q} }$ 時，不需要另加增長條件，這是 Koecher 定理的一個推論。

文獻

• Paul B. Garrett, Holomorphic Hilbert Modular Forms. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove, CA, 1990. ISBN 0-534-10344-8
• Eberhard Freitag, Hilbert Modular Forms. Springer-Verlag. ISBN 0-387-50586-5