代數整數

在數學裡，代數整數（algebraic integer）是複數中的一類。一個複數α是代數整數若且唯若它是某個個整系數的首一多項式${\displaystyle P(x)}$的根。其中首一（英文：monic）意謂最高冪次項的系數是1。

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

因此，所有代數整數都是代數數，但並非所有代數數都是代數整數。所有代數整數構成一個環，通常記作${\displaystyle \mathbb {A} }$。

如果${\displaystyle P(x)}$是整係數本原多項式（即系數的最大公因數是1的多項式），但非首一多項式，則${\displaystyle P}$的根都不是代數整數。

定義

以下是代數整數四種相互等價的定義。設K為代數數域（有理數域${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限擴張）。根據本原元定理，K可以寫成${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )}$的形式。其中${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} }$是某個代數數。設有${\displaystyle \alpha \in K}$，則α是代數整數若且唯若以下命題之一成立：

1. 存在整係數多項式：${\displaystyle P=X^{m}+a_{1}X^{m-1}+\cdots +a_{m-1}X+a_{m}\in \mathbb {Z} [X]}$，使得${\displaystyle P(\alpha )=0}$。
2. α在${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的極小首一多項式是整係數多項式。
3. ${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$是有限生成的${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模。
4. 存在有限生成的${\displaystyle \mathbb {Z} }$-子模：${\displaystyle M\subset \mathbb {C} }$，使得${\displaystyle \alpha M\subseteq M}$。

例子

• 有理數域${\displaystyle \mathbb {Q} }$中的代數整數就是整數。換句話說，${\displaystyle \mathbb {A} }$和${\displaystyle \mathbb {Q} }$交集是整數環${\displaystyle \mathbb {Z} }$。這可以用整係數多項式的一個簡單性質證明。如果一個整係數多項式

${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{m}x^{m}}$

有一個根是有理數：${\displaystyle \scriptstyle r={\frac {p}{q}}}$，其中p、q是互素的整數，那麼必然有：分母q 整除${\displaystyle a_{m}}$，以及分子p 整除${\displaystyle a_{0}}$。因此，由於代數整數是某個首一多項式的根，如果它是有理數，那麼它的分母整除多項式的最高冪次項，也就是說整除1。所以這個有理數的分母是1，即是說它是整數。反過來，所有的整數n都是整係數首一多項式${\displaystyle \displaystyle x-n}$的根，所以是代數整數。

• 一個給定的代數數域${\displaystyle \mathbb {K} }$與${\displaystyle \mathbb {A} }$的交集稱為這個數域的（代數）整數環，記作${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$。這個整數環中的代數整數不再只是整數。比如說，給定一個數域：${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$，那麼對應的整數環中不僅有整數，還有${\displaystyle {\sqrt {2}}}$，因為${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是首一多項式${\displaystyle \scriptstyle x^{2}-2}$的根。

• ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$不是代數整數。這是因為${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$在有理數域上的最小多項式是${\displaystyle \scriptstyle 2x^{2}-1}$，不是一個首一多項式。

• ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$是一個代數整數。它是多項式${\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-1}$的根。一般來說，如果整數${\displaystyle \scriptstyle d}$除以4餘1，那麼${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}}$也是代數整數，因為它是多項式${\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-{\frac {d-1}{4}}}$的根。

• 給定素數p，p次單位根${\displaystyle \zeta _{p}}$也是一個代數整數，因為是首一多項式${\displaystyle \displaystyle x^{p}-1=0}$的根。實際上，p次分圓域${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}$的整數環就是${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}]}$。

性質

• 兩個代數整數的和是一個代數整數，他們的差及積也是。這時它們滿足的首一多項式可以用結式表達；但他們的商就不一定是代數整數。
• 一個以代數整數為系數的首一多項式的根也是代數整數。換句話說，代數整數構成一個環，並且在任何代數擴張下是整閉的。
• 任何從整數出發，透過和、積與開方得到的數都是代數整數，但並非所有代數整數都可依此構造，例如，大多數的五次代數整數都無法透過這種方式構造。
• 代數整數是裴蜀整環。

參見

• 整性
• 高斯整數
• 艾森斯坦整數
• 單位根
• 狄利克雷單位理論
• 基本單位 (數論)

參考來源

• Daniel A. Marcus, Number Fields（數域）, third edition, Springer-Verlag, 1977