循序可測過程

在數學中，循序可測是隨機過程的一種性質。循序可測性質是隨機過程研究中用到的一種重要性質，能夠保證停過程的可測性。循序可測性比隨機過程的適應性更加嚴格^[1]:4-5。循序可測過程在伊藤積分理論中有重要應用。

定義

設有

• 概率空間${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$；
• 測度空間${\displaystyle (\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})}$，狀態空間；
• σ-代數${\displaystyle {\mathcal {F}}}$上的參考族${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}|t\geqslant 0\}}$；
• 隨機過程${\displaystyle X:T=[0,\infty )\times \Omega \to \mathbb {X} =\left(X_{t}\right)_{t\in T}}$（指標集${\displaystyle T}$也可以是有限時間${\displaystyle [0,T_{0}]}$或離散時間${\displaystyle \mathbb {N} }$）。

則隨機過程${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}$是循序可測過程若且唯若對任意的時刻${\displaystyle t\in T}$，映射

${\displaystyle X\left|_{[0,t]}:\,\,[0,t]\times \Omega \,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {X} \right.}$

${\displaystyle (s,\omega )\quad \mapsto \,\,X_{s}(\omega )}$

都是 ${\displaystyle \mathrm {Borel} ([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}}$-可測的^[2]:110。${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}$是循序可測過程可以推出它必然是適應過程^[1]:5。

子集${\displaystyle P\subseteq [0,\infty )\times \Omega }$是循序可測集合若且唯若指示過程：

${\displaystyle X_{s}(\omega ):=\mathbf {1} _{P}(s,\omega )}$

是循序可測過程。所有循序可測的子集${\displaystyle P}$構成${\displaystyle [0,\infty )\times \Omega }$上的一個σ-代數，一般記為${\displaystyle \mathrm {Prog} }$。一個隨機過程${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}$是循序可測過程若且唯若它（在被看作${\displaystyle [0,\infty )\times \Omega }$上的隨機變量時）是${\displaystyle \mathrm {Prog} }$-可測的^[3]:190。

性質

• 如果一個適應隨機過程是左連續或右連續的，那麼它是循序可測過程。特別地，左極限右連續的適應隨機過程是循序可測過程^[3]:191。
• 設${\displaystyle W=\left(W_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}$是一維的標準布朗運動過程，${\displaystyle H=\left(H_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}$為關於${\displaystyle W}$的參考族${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}}$的（實值的）循序可測過程，並且滿足${\displaystyle \mathbb {E} [\int _{T}H(t)^{2}\mathrm {d} t]<\infty }$，那麼我們可以定義${\displaystyle H}$關於${\displaystyle W}$的隨機積分：${\displaystyle \int _{T}H(t)\mathrm {d} W_{t}}$^[2]:146-147，而且滿足

  ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{T}H(t)\mathrm {d} W_{t}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{T}H(t)^{2}\mathrm {d} t\right].}$^{[3]:192[2]:141}。

• 一個隨機過程${\displaystyle X=\left(X_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}$的修正（modification）是指另一個隨機過程${\displaystyle Y=\left(Y_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}$，滿足${\displaystyle \forall t\in T,\,\,\mathbb {P} (X_{t}=Y_{t})=1.}$ 可以證明，儘管不是每個可測的適應隨機過程都是循序可測的，但必然擁有一個循序可測的修正^[2]:110。

參見

• 圖模式
• 馬爾可夫鏈
• 馬爾可夫邏輯網絡
• 適應過程
• 可預測過程