有限體運算

有限體運算是抽象代數中的一個概念，尤指在有限體之中進行的運算。其中有限體是一種體，所以包含的元素數量是有限的。作為比較，無限體運算則指在有無限多元素的體(如有理數)中的運算。

不同的有限體有無限多種，它們的勢(英語：Cardinality)皆以 ${\displaystyle p^{n}}$ 的形式表示，其中 ${\displaystyle \ p}$ 是一個質數； ${\displaystyle n}$ 為自然數。兩個元素數量相同的有限體稱做同構的。${\displaystyle p}$ 同時代表此有限體的特徵數，而${\displaystyle \ n}$ 則是此有限體的維度。

有限體有許多不同的應用，包含編碼理論與線性區塊碼(例如BCH碼和里德-所羅門碼)以及在密碼學中的演算法(例如進階加密標準)等不同領域的應用。

有效多項式表示

伽羅瓦體

有${\displaystyle \ p^{n}}$個元素的有限體可以表示成${\displaystyle \ \mathrm {GF} (p^{n})}$，其中 GF 為伽羅瓦體(英語：Galois field)的縮寫。伽羅瓦體即為有限體的別稱，以紀念現代群論的重要奠基者——埃瓦里斯特·伽羅瓦^[1]。

一個簡單的例子是${\displaystyle \ \mathrm {GF} (p)}$(也能可表示成${\displaystyle \ \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} }$ 或 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$)，其中${\displaystyle \ p\ }$是一個質數。${\displaystyle \ \mathrm {GF} (p)}$是將正整數作以${\displaystyle \ p\ }$為模的模運算後所得的結構。換言之，我們可以對整數進行加法、減法、乘法的運算，接著再以模運算將結果簡化。因此${\displaystyle \ \mathrm {GF} (p)}$其實也是一種環。

以${\displaystyle \ \mathrm {GF} (5)}$為例

在${\displaystyle \ \mathrm {GF} (5)}$中，${\displaystyle 4+3=2}$ 而不會等於${\displaystyle \ 7}$，這是因為${\displaystyle \ 7_{(}mod\ 5)=2}$。而除法能理解為對其乘法反元素作乘法，並可以使用擴充版的輾轉相除法來計算。

以${\displaystyle \ \mathrm {GF} (2)}$為例

${\displaystyle \ \mathrm {GF} (2)}$的加法為XOR，而乘法是AND。由於唯一具有倒數的元素是數字1，除法則是恆等函數。

GF(pⁿ)的元素可表示為，在GF(p)之上嚴格小於n次數的多項式。運算則實行在先模除R，而R是一則在GF(p)之上，擁有n次數的不可約多項式，例如運用多項式長除法。兩則多項式P和Q則按常規運算；乘法則按如下進行：先按常規計算W = P⋅Q，然後計算模除R之後的餘項(存在有更方便方法)。

當質數是2時，一般按常規可以把GF(pⁿ)的元素表示為二進制數，按對應元素的二進制表示，多項式的每一項表示為一比特的，相對應元素的二進制數位，並且括號( "{"和"}" )或類似的分隔符也普遍附加於這些二進制數，或對應它們的十六進制的同等數，以表明數值確確是體內的一則元素。例如，下列數都在具有2的特徵下持有相同的數值。

多項式: x⁶ + x⁴ + x + 1

二進制: {01010011}

十六進制: {53}

加法和減法

加法和減法可實施在加與減這兩則多項式，再而使用模除其特徵值以簡化。

在一則特徵值為2的有限體之中，加法模2，減法模2，如同使用XOR，因此：

多項式：(x⁶ + x⁴ + x + 1) + (x⁷ + x⁶ + x³ + x) = x⁷ + x⁴ + x³ + 1

二進制： {01010011} + {11001010} = {10011001}

十六進制：{53} + {CA} = {99}

在常規的無限體的多項式的加法下，計算之和需要包含單項 2x⁶，但在有限體的加法下，0x⁶則被去掉，因為其計算結果被模2所消除。

下列是一則包含有對於一些多項式的，常規代數計算和與特徵值為2的有限體的計算和，一同列出的圖表。

p1	p2	p1 + p2 (normal algebra)	p1 + p2 in GF(2n)
x3 + x + 1	x3 + x2	2x3 + x2 + x + 1	x2 + x + 1
x4 + x2	x6 + x2	x6 + x4 + 2x2	x6 + x4
x + 1	x2 + 1	x2 + x + 2	x2 + x
x3 + x	x2 + 1	x3 + x2 + x + 1	x3 + x2 + x + 1
x2 + x	x2 + x	2x2 + 2x	0

在計算機科學的諸多應用程式之中，特徵值為2的有限體運算被簡單化，稱之為GF(2ⁿ) 伽羅瓦體，使的這些領域在應用程式中，體現出一種特別大眾化的選擇。

乘法

乘法是在有限體之內，把乘積模除於，一則用來表示有限體的，簡約過的不可約多項式。 (換句話說， 乘法再跟上使用，簡約了的多項式充當除數的除法，然後餘數則是它們的乘積。) 符號 "•" 可以用作於在有限體之內的乘法。