本迪克森-杜拉克定理

在數學裡，本迪克森-杜拉克定理說明了對於一個二維的駐定動力系統

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=X(x,y),}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=Y(x,y)}$

如果存在${\displaystyle \varphi (x,y)}$使得

${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}\neq 0}$

在研究區域（必須是單連通的）上幾乎處處成立，那麼這個動力系統不存在周期解。所謂「幾乎處處成立」是指不成立的點的集合是一個測度為零的集合。這個定理可以用格林定理證出。

證明

運用反證法，假設研究區域為單連通的區域 ${\displaystyle D}$，其內存在對於動力系統：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=X(x,y),}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=Y(x,y)}$

的一組周期解${\displaystyle (x,y)}$，其周期為${\displaystyle T}$，那麼對於

${\displaystyle \Gamma :x=x(t)\,\ y=y(t)\,\ 0\leq t\leq T}$

所圍成的區域${\displaystyle D_{\Gamma }\subset D}$，有

${\displaystyle \iint _{D_{\Gamma }}\,({\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}})dx\,dy=\int _{\Gamma }\,\varphi (Xdy-Ydx)}$

${\displaystyle =\int _{0}^{T}\,\varphi (X{\frac {dy}{dt}}-Y{\frac {dx}{dt}})dt=\int _{0}^{T}\,\varphi (XY-YX)dt=0}$

但是由於使得 ${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}=0}$ 的點 ${\displaystyle (x,y)}$ 的集合是一個測度為零的集合，所以總可以找到 ${\displaystyle \varphi }$ 使得${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}}$在零點之外不變號。這樣${\displaystyle \iint _{D_{\Gamma }}\,({\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}})dx\,dy}$不可能為0，矛盾！

因此周期解不存在，定理得證。

參見

• 極限環
• 龐加萊回歸

參考資料

• 王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松，《常微分方程》（第三版），297頁，高等教育出版社。
• MICHAL FECKAN,A GENERALIZATION OF BENDIXSON'S CRITERION，Proceedings of The

American Mathematical Society, Volume 129, Number 11, Pages 3395-3399,S 0002-9939(01)06107-X, Article electronically published on April 25, 2001[1]