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李亞普諾夫方程

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李亞普諾夫方程(英語:Lyapunov equation)是控制理論中的名詞,離散李亞普諾夫方程的型式如下:

其中埃爾米特矩陣共軛轉置而連續李亞普諾夫方程則是

李亞普諾夫方程應用在控制理論中的許多分支中,例如穩定性分析最優控制。李亞普諾夫方程是得名自俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫

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在穩定性中的應用

在以下的定理中,,且是對應矩陣。而的意思是指矩陣為正定矩陣

定理(連續時間版本):給定任意,存在唯一滿足的充份必要條件是線性系統是全域漸近穩定。二次函數李亞普諾夫函數,可以驗證系統的穩定性。

定理(離散時間版本):給定任意,存在唯一滿足的充份必要條件是線性系統是全域漸近穩定。為其李亞普諾夫函數。

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求解的計算層面

有特殊的軟體可以求解李亞普諾夫方程。若是離散型式,常會用Kitagawa的Schur法[1],若是連續型式,則會用Bartels和Stewart的計算法[2]

解析解

定義(向量化)運算子是將矩陣A的所有列堆起來所形成的列向量,而克羅內克積。兩種李亞普諾夫方程都可以用矩陣方程的解來表示。而且,若矩陣穩定,解也可以用積分(連續時間)或是無限項和(離散時間)來表示。

離散時間

利用的結果,可以得到

其中可相乘英語conformable的單位矩陣[3]。可以積分或或是求解線性方程,即可以得到。再將各列重新整理,即可得到

而且,若穩定,解也可以表示為

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連續時間

再利用克羅內克積和運算子,可以得到矩陣方程

其中是將各元素取共軛得到的矩陣。

類似離散時間的情形,若穩定,解也可以表示為

.
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參考資料

外部連結

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