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李亞普諾夫方程
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李亞普諾夫方程(英語:Lyapunov equation)是控制理論中的名詞,離散李亞普諾夫方程的型式如下:
李亞普諾夫方程應用在控制理論中的許多分支中,例如穩定性分析及最優控制。李亞普諾夫方程是得名自俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫。
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在穩定性中的應用
在以下的定理中,,且 和是對應矩陣。而的意思是指矩陣為正定矩陣。
定理(連續時間版本):給定任意,存在唯一滿足的充份必要條件是線性系統是全域漸近穩定。二次函數是李亞普諾夫函數,可以驗證系統的穩定性。
定理(離散時間版本):給定任意,存在唯一滿足的充份必要條件是線性系統是全域漸近穩定。為其李亞普諾夫函數。
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求解的計算層面
有特殊的軟體可以求解李亞普諾夫方程。若是離散型式,常會用Kitagawa的Schur法[1],若是連續型式,則會用Bartels和Stewart的計算法[2]。
解析解
定義(向量化)運算子是將矩陣A的所有列堆起來所形成的列向量,而是和的克羅內克積。兩種李亞普諾夫方程都可以用矩陣方程的解來表示。而且,若矩陣穩定,解也可以用積分(連續時間)或是無限項和(離散時間)來表示。
利用的結果,可以得到
其中為可相乘的單位矩陣[3]。可以積分或或是求解線性方程,即可以得到。再將各列重新整理,即可得到。
而且,若穩定,解也可以表示為
- 。
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再利用克羅內克積和運算子,可以得到矩陣方程
其中是將各元素取共軛得到的矩陣。
類似離散時間的情形,若穩定,解也可以表示為
- .
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相關條目
參考資料
外部連結
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