西爾維斯特方程

西爾維斯特方程（英語：Sylvester equation）是控制理論中的矩陣方程，形式如下^[1]：

${\displaystyle AX+XB=C.}$

其中${\displaystyle A_{n\times n}}$、${\displaystyle B_{m\times m}}$及${\displaystyle C_{n\times m}}$是已知矩陣，n與m可以相等。方程中所有矩陣的係數都是複數。西爾維斯特方程有唯一解X的充要條件是A與-B沒有共同的特徵值。

AX+XB=C也可以視為是（可能無窮維中）巴拿赫空間中有界算子的方程。此情形下，唯一解X的充份必要條件幾乎相同：唯一解X的充份必要條件是A和-B的譜不互交^[2]。

解的存在及唯一

利用克羅內克積以及向量化量子（英語：Vectorization (mathematics)）${\displaystyle \operatorname {vec} }$，可以改寫西爾維斯特方程為

${\displaystyle (I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,}$

其中${\displaystyle I_{k}}$為${\displaystyle k\times k}$單位矩陣。在此形式下，可以將問題改為${\displaystyle mn\times mn}$維的線性系統^[3]。

命題

假定複數的${\displaystyle n\times n}$矩陣${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$，西爾維斯特方程針對任意${\displaystyle C}$有唯一解${\displaystyle X}$，若且唯 若${\displaystyle A}$和${\displaystyle -B}$沒有共同的特徵值。

證明

考慮線性轉換${\displaystyle S:M_{n}\rightarrow M_{n}}$，${\displaystyle X\mapsto AX+XB}$.

(i)假設${\displaystyle A}$和${\displaystyle -B}$沒有共同的特徵值，則其特徵方程式 ${\displaystyle f(z)}$和${\displaystyle g(z)}$的最大公因式為${\displaystyle 1}$，因此存在複數多項式${\displaystyle p(z)}$和${\displaystyle q(z)}$，使得${\displaystyle p(z)f(z)+q(z)g(z)=1}$。依照Cayley–Hamilton定理，${\displaystyle f(A)=0=g(-B)}$；因此${\displaystyle g(A)q(A)=I}$。令${\displaystyle X}$為${\displaystyle S(X)=0}$的解，則${\displaystyle AX=-XB}$，重複上述作法，可得${\displaystyle X=q(A)g(A)X=q(A)Xg(-B)=0}$。因此依照秩－零化度定理，${\displaystyle S}$是可逆的，因此針對所有的${\displaystyle C}$都存在唯一的解${\displaystyle X}$。

(ii) 相對的，若假設${\displaystyle s}$是${\displaystyle A}$和${\displaystyle -B}$的共同特徵值，則${\displaystyle {\bar {s}}}$也是${\displaystyle A^{H}}$的特徵值。存在非零向量 ${\displaystyle v}$和${\displaystyle w}$使得${\displaystyle A^{H}w={\bar {s}}w}$以及${\displaystyle Bv=-sv}$。選擇${\displaystyle C}$使得${\displaystyle Cv=w}$，則${\displaystyle AX+XB=C}$沒有解${\displaystyle X}$，考慮 ${\displaystyle \langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Cv,w\rangle =\langle w,w\rangle }$，等號的右邊為正值；而左側因為伴隨變換的性質為零,即 ${\displaystyle \langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Xv,A^{H}w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =s\langle Xv,w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =0}$。

Roth消去法則

假設二個大小分別為n和m的方陣A和B，以及大小為n乘m的矩陣C，則可以確認以下二個大小為n+m的方陣${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}}$和${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}}$是否彼此相似。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣X使得AX-XB=C，換句話說，X為西爾維斯特方程的解，這稱為Roth消去法則（Roth's removal rule）^[4]。

可以用以下方式檢查，若AX-XB=C，則

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.}$

Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界算子中^[5]。

數值解

西爾維斯特方程數值解的經典演算法是Bartels–Stewart演算法，利用QR演算法（英語：QR algorithm）將矩陣${\displaystyle A}$和矩陣${\displaystyle B}$轉換為舒爾形式，再用逆向取代法求解三角矩陣。此演算法若用LAPACK計算，或是GNU Octave的lyap函數計算^[6]，計算複雜度是${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$個數學運算^{[來源請求]}。也可以參考其中的sylvester函數^[7][8]。在一些特定的影像處理應用中，西爾維斯特方程會有解析解^[9]。

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