杜芬振子

杜芬振子（英語：Duffing oscillator）是一個描寫受驅振動的振動子，由非線性微分方程表示^[1]

受驅的杜芬方程的龐加萊截面表明混沌行為。

杜芬方程列式如下：

${\displaystyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+2\gamma {\frac {dx(t)}{dt}}+\alpha *x(t)+\beta *x(t)^{3}=\delta *cos(\omega *t)}$

其中

• γ控制阻尼度
• α控制韌度
• β控制動力的非線性度
• δ驅動力的振幅
• ω驅動力的圓頻率

數值解

杜芬方程沒有解析解，但可用龍格－庫塔法求得數值解。

當γ>0，杜芬振子呈現極限環振動；

Duffing oscillator limit cycle

Duffing oscillator limit cycle phase animation

當γ<0，系統進入混沌態，相圖呈吸引子形態。

Duffing oscillator chaos

Duffing oscillator attractors animation