核迴歸

核迴歸（又稱局部加權線性迴歸）是統計學中用於估計隨機變數的條件期望值的無母數方法。目的是找到一對隨機變數X和Y之間的非線性關係。

在任何無母數迴歸中 ，變量的條件期望值 ${\displaystyle Y}$相對於變量${\displaystyle X}$可以寫成：

${\displaystyle \operatorname {E} (Y|X)=m(X)}$

m為一個未知函數。

Nadaraya–Watson核迴歸

1964年， Nadaraya和Watson都提出了估算${\displaystyle m}$作為局部加權平均值，使用內核作為加權函數的方法。 ^{[1] [2] [3]} Nadaraya–Watson估計量為：

${\displaystyle {\widehat {m}}_{h}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})y_{i}}{\sum _{j=1}^{n}K_{h}(x-x_{j})}}}$

${\displaystyle K_{h}}$是一個帶寬為 ${\displaystyle h}$ 的核。 分母是一個總和為1的加權項。

推導

${\displaystyle \operatorname {E} (Y|X=x)=\int yf(y|x)dy=\int y{\frac {f(x,y)}{f(x)}}dy}$

將內核密度估計用於具有內核K的聯合分布f（x，y）和f（x） ，

${\displaystyle {\hat {f}}(x,y)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)K_{h}\left(y-y_{i}\right)}$, ${\displaystyle {\hat {f}}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)}$,

我們得到

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)&=\int {\frac {y\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)K_{h}\left(y-y_{i}\right)}{\sum _{j=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{j}\right)}}dy,\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)\int y\,K_{h}\left(y-y_{i}\right)dy}{\sum _{j=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{j}\right)}},\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)y_{i}}{\sum _{j=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{j}\right)}},\end{aligned}}}$

這便是Nadaraya–Watson估計量。

Priestley–Chao核估計函數

${\displaystyle {\widehat {m}}_{PC}(x)=h^{-1}\sum _{i=2}^{n}(x_{i}-x_{i-1})K\left({\frac {x-x_{i}}{h}}\right)y_{i}}$

此處 ${\displaystyle h}$ 為帶寬（或平滑參數）。

Gasser–Müller核估計函數

${\displaystyle {\widehat {m}}_{GM}(x)=h^{-1}\sum _{i=1}^{n}\left[\int _{s_{i-1}}^{s_{i}}K\left({\frac {x-u}{h}}\right)du\right]y_{i}}$

此處 ${\displaystyle s_{i}={\frac {x_{i-1}+x_{i}}{2}}}$

示例

此示例基於加拿大截面工資數據，該數據由1971年加拿大人口普查公用帶中的隨機樣本組成，這些樣本適用於受過普通教育的男性（13年級）。共有205個觀測值。

右圖顯示了使用二階高斯核以及漸近變化範圍的估計迴歸函數

程序實例

以下R語言命令使用npreg()函數提供最佳平滑效果並創建上面給出的圖形。 這些命令可以通過剪切和粘貼在命令提示符下輸入。

 install.packages("np")
 library(np) # non parametric library
 data(cps71)
 attach(cps71)

 m <- npreg(logwage~age)

 plot(m,plot.errors.method="asymptotic",
   plot.errors.style="band",
   ylim=c(11,15.2))

 points(age,logwage,cex=.25)

相關資料

大衛·薩爾斯堡 （David Salsburg）指出 ，用於內核迴歸的算法是獨立開發的，並且已用於模糊系統 ：「通過幾乎完全相同的計算機算法，模糊系統和基於內核密度的迴歸似乎是完全獨立於彼此而開發的。 」 ^[4]

統計實現

• MATLAB 這些頁面 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）上提供了免費的MATLAB工具箱，其中包括內核迴歸，內核密度估計，危險函數的內核估計以及許多其他工具的實現（此工具箱是本書的一部分^[5] ）。
• Stata npregress ， kernreg2 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• R ： np package的函數npreg可以執行內核迴歸。 ^{[6] [7]}
• Python ：所述KernelReg在混合數據類型類statsmodels.nonparametric子包（包括其他內核密度相關的類），封裝kernel_regression （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）作為的延伸sklearn （低效存儲器明智的，有用的，只有對於小數據集）
• GNU Octave數學程序包：

相關資料

• 內核平滑
• 局部迴歸