根基

在數論中，將正整數 n 的根基（英文：radical）定義為 n 的所有素因數（質因數）的積：

$${\displaystyle \displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p}$$

整數的根運算對簡化abc猜想的表述起到重要作用。^[1]

例子

在不與開方運算里的「根（root）」的概念混淆的情況下，也常簡稱「根」。例如我們有

$${\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}$$

所以504的根計算如下

$${\displaystyle \operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42}$$

根數列

所有正整數的根組成如下數列：

1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... （OEIS數列A007947）.

性質

• ${\displaystyle rad(n)}$是積性函數。
• 對於任意整數${\displaystyle n}$而言，${\displaystyle rad(n)}$是其最大的無平方因子數因數，故${\displaystyle rad(n)}$又稱${\displaystyle n}$的無平方核心（square-free kernel）。^[2]截至目前為止，並無在多項式時間內計算${\displaystyle n}$的無平方部分的算法。^[3]
• ${\displaystyle rad(n)}$可推廣為${\displaystyle n}$最大的無${\displaystyle t}$次方因子數因數${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}}$，而${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}}$是一個有如下定義的積性函數：

  $${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}}$$

  ${\displaystyle t=3}$及${\displaystyle t=4}$的狀況分別由A007948和A058035列舉。

• 根基的表達式出現於abc猜想中，而這猜想表示說，對於任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$，都有一個${\displaystyle K_{\varepsilon }}$，使得對於任意滿足${\displaystyle a+b=c}$且互質的三元數組${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$而言，都有以下的關係：^[1]

  $${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}$$

• 對於任意整數${\displaystyle n}$而言，有限環${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$的所有冪零元都是${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$的倍數。
• 根基有如下的狄利克雷級數：

  ${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {p^{1-s}}{1-p^{-s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {rad} (n)}{n^{s}}}}$

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• 理想的根