格拉姆矩陣

線性代數中，內積空間中一組向量 ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ 的格拉姆矩陣（Gramian matrix、Gram matrix 或 Gramian）是內積的埃爾米特矩陣，其元素由 ${\displaystyle G_{ij}=\langle v_{i},v_{j}\rangle }$ 給出。

格拉姆矩陣的一個重要應用是驗證一組向量是否線性獨立：一組向量彼此線性獨立若且唯若其格拉姆行列式（格拉姆矩陣的行列式）不等於零。

格拉姆矩陣以丹麥數學家約爾根·佩爾森·格拉姆（英語：Jørgen Pedersen Gram）命名。

例子

最常見地，向量是歐幾里得空間中元素，或 L² 空間中函數，比如閉區間 ${\displaystyle [a,b]}$ 上的連續函數（是 L ²（[a, b]）的子集）。

給定區間 ${\displaystyle [t_{0},t_{f}]}$ 上的實數值函數 ${\displaystyle \{\ell _{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}}$，格拉姆矩陣${\displaystyle G=[G_{ij}]}$，由函數的標準內積給出：

${\displaystyle G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}\ell _{i}(\tau )\ell _{j}(\tau )\,d\tau .}$

給定一個實矩陣 ${\displaystyle A}$，矩陣 ${\displaystyle A^{\top }A}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的列向量的格拉姆矩陣，而矩陣 ${\displaystyle AA^{\top }}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的行向量的格拉姆矩陣。

對一般任何域上的有限維向量空間上的雙線性形式 B，我們可對一組向量 ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ 定義一個格拉姆矩陣 G 為 ${\displaystyle G_{i,j}=B(v_{i},v_{j})\,}$ 。如果雙線性形式 B 對稱則該格拉姆矩陣對稱。

應用

• 如果向量是隨機變量，所得格拉姆矩陣是協方差矩陣。
• 在量子化學中，一組基向量的格拉姆矩陣是重疊矩陣（Overlap matrix）。
• 在控制論（或更一般的系統理論中），可控制性格拉姆矩陣、可觀測性格拉姆矩陣及交叉格拉姆矩陣確定了線性系統的性質。
• 格拉姆矩陣出現在協方差結構模型中（比如可參見 Jamshidian & Bentler (1993)）。
• 在有限元方法中，格拉姆矩陣出現在從有限維空間逼近函數時；格拉姆矩陣的元素是有限維子空間的基函數的內積。

性質

半正定

格拉姆矩陣是半正定的，反之每個半正定矩陣是某些向量的格拉姆矩陣。這組向量一般不是惟一的：任何正交基的格拉姆矩陣是單位矩陣。

這個命題無窮維類比是Mercer定理（英語：Mercer's theorem））。

基變換

在一個由可逆矩陣 P 表示的基變換下，格拉姆矩陣是用 P 做一個矩陣合同變為 P^TGP。

格拉姆行列式

格拉姆行列式（Gram determinant 或 Gramian）是格拉姆矩陣的行列式：

${\displaystyle G(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}\langle x_{1},x_{1}\rangle &\langle x_{1},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{1},x_{n}\rangle \\\langle x_{2},x_{1}\rangle &\langle x_{2},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{2},x_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle x_{n},x_{1}\rangle &\langle x_{n},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{n},x_{n}\rangle \end{vmatrix}}.}$

在幾何上，格拉姆行列式是這些向量形成的平行多面體的體積之平方。特別地，這些向量線性無關若且唯若格拉姆行列式不為零（若且唯若格拉姆矩陣非奇異）。

外部連結

• Jamshidian; Bentler, Applied Psychological Measurement 18: 79 – 94, 1993

• Barth, Nils. The Gramian and K-Volume in N-Space: Some Classical Results in Linear Algebra. Journal of Young Investigators. 1999, 2. （原始內容存檔於2008年11月22日）.

• Volumes of parallelograms （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Frank Jones