格羅莫夫積

格羅莫夫(Gromov)積是度量幾何的一個概念，以米哈伊爾·格羅莫夫命名。在一個測地度量空間中，從同一點出來的兩條測地線，格羅莫夫積大概量度這兩條線彼此相近而行的距離。不過，格羅莫夫積的定義並不需要測地線存在。^[1]

格羅莫夫積可用以定義格羅莫夫雙曲空間及其理想邊界。

定義

設${\displaystyle (X,d)}$為度量空間，${\displaystyle x,y,z}$為${\displaystyle X}$中三點，則${\displaystyle y,z}$以${\displaystyle x}$為基點的格羅莫夫積定義為

${\displaystyle (y,z)_{x}:={\frac {1}{2}}{\big (}d(x,y)+d(x,z)-d(y,z){\big )}}$

性質

• 對稱性：${\displaystyle (y,z)_{x}=(z,y)_{x}}$
• 若基點和另一點相同，格羅莫夫積為零：${\displaystyle (y,z)_{y}=0}$，${\displaystyle (y,z)_{z}=0}$
• 以下關係式成立：

${\displaystyle d(x,y)=(x,z)_{y}+(y,z)_{x}}$

${\displaystyle 0\leq (y,z)_{x}\leq \min {\big \{}d(y,x),d(z,x){\big \}}}$

• 格羅莫夫積是利普希茨連續的：

${\displaystyle {\big |}(y,z)_{p}-(y,z)_{q}{\big |}\leq d(p,q)}$

${\displaystyle {\big |}(x,y)_{p}-(x,z)_{p}{\big |}\leq d(y,z)}$

• 在歐幾里德幾何中，若${\displaystyle \triangle ABC}$為平面上任意一個三角形，${\displaystyle (B,C)_{A}}$等於${\displaystyle A}$點到內切圓與AB及AC的兩個切點的距離。

• 設${\displaystyle X}$為樹，則對${\displaystyle X}$中任意三點${\displaystyle x,y,z}$，${\displaystyle (y,z)_{x}}$是從${\displaystyle x}$到${\displaystyle y,z}$的兩條線段重合部份的長度。
• 設${\displaystyle X}$為測地度量空間。記${\displaystyle [y,z]}$為連接點${\displaystyle y,z}$的一條測地線段。（注意連接此兩點的測地線段未必唯一。）對${\displaystyle X}$中任意三點${\displaystyle x,y,z}$有不等式：

${\displaystyle d(x,[y,z])\geq (y,z)_{x}}$

• 格羅莫夫雙曲空間其中一個定義為：^[2]

設${\displaystyle \delta \geq 0}$為常數。度量空間${\displaystyle (X,d)}$稱為δ-雙曲，若${\displaystyle X}$中任意點${\displaystyle p,x,y,z}$都符合不等式

${\displaystyle (x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta }$