極值長度

數學上，共形和擬共形映射的理論中，一個曲線族${\displaystyle \Gamma }$的極值長度是${\displaystyle \Gamma }$的一個共形不變量。確切來說，設 ${\displaystyle D}$是複平面中的開集，${\displaystyle \Gamma }$是${\displaystyle D}$中的路徑族，${\displaystyle f:D\to D'}$是一個共形映射。那麼${\displaystyle \Gamma }$的極值長度等於 ${\displaystyle \Gamma }$在${\displaystyle f}$下的像的極值長度。因此極值長度是研究共形映射的有用工具。

極值長度的定義

設${\displaystyle D}$是複平面中的開集。設${\displaystyle \Gamma }$是在${\displaystyle D}$中的可求長曲線族。${\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]}$是博雷爾可測函數。對任意可求長曲線${\displaystyle \gamma }$，設

${\displaystyle L_{\rho }(\gamma ):=\int _{\gamma }\rho \,|dz|}$

表示${\displaystyle \gamma }$的${\displaystyle \rho }$長度，其中${\displaystyle |dz|}$表示歐氏線元。（可能有${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }$。）又設

${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma ):=\inf _{\gamma \in \Gamma }L_{\rho }(\gamma ).}$

${\displaystyle \rho }$的面積定義為

${\displaystyle A(\rho ):=\int _{D}\rho ^{2}\,dx\,dy,}$

而${\displaystyle \Gamma }$的極值長度定義為

${\displaystyle EL(\Gamma ):=\sup _{\rho }{\frac {L_{\rho }(\Gamma )^{2}}{A(\rho )}}\,,}$

其中最小上界是取自所有滿足${\displaystyle 0<A(\rho )<\infty }$的博雷爾可測函數${\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]}$。若${\displaystyle \Gamma }$包含了不可求長曲線，將${\displaystyle \Gamma }$中可求長曲線的子集記為 ${\displaystyle \Gamma _{0}}$，則 ${\displaystyle EL(\Gamma )}$定義為${\displaystyle EL(\Gamma _{0})}$。

${\displaystyle \Gamma }$的模是${\displaystyle 1/EL(\Gamma )}$。

${\displaystyle {\overline {D}}}$中的兩個集合在${\displaystyle D}$中的極值距離，是在${\displaystyle D}$中兩個端點分別在這兩個集合的曲線族的極值長度。

參考

• Ahlfors, Lars V., Conformal invariants: topics in geometric function theory, New York: McGraw-Hill Book Co., 1973, MR 0357743