正五邊形

正五邊形是指五個邊等長且五個角等角的五邊形，其內角為108度，是一種正多邊形，在施萊夫利符號中可以用${\displaystyle \left\{5\right\}}$來表示。

正五邊形
一個正五邊形
類型	正多邊形
對偶	正五邊形（本身）
邊	5
頂點	5
對角線	5
施萊夫利符號	{5}
考克斯特符號（英語：Coxeter–Dynkin diagram）
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	peg
對稱群	二面體群 (D5), order 2×5
面積	${\displaystyle {\frac {5}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{5}}}$ ${\displaystyle \approx 1.720477400589a^{2}}$
內角（度）	108°
內角和	540°
特性	凸、圓內接多邊形、等邊多邊形、等角多邊形、等邊圖形

邊與角

正五邊形的中心角為72度，其具有五個對稱軸，其旋轉對稱性有5個階（72°、144°、216° 和 288°）。

高${\displaystyle ={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}\cdot }$邊長${\displaystyle \approx 1.539\cdot }$邊長

寬${\displaystyle ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot }$邊長${\displaystyle \approx 1.618\cdot }$邊長

對角線長${\displaystyle =R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902R,}$

其中${\displaystyle R}$為外接圓半徑。

邊長為${\displaystyle t}$的正凸五邊形面積可以將之分割成5個等腰三角形計算：

${\displaystyle A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}\approx 1.720t^{2}.}$

正五邊形不能鑲嵌平面，因為其內角是108°，不能整除360°。2017年5月，里昂高等師範學校Michaël Rao宣稱已證明只存在15種凸五邊形鑲嵌平面情況，其中不包括正五邊形。^[1]。

面積公式推導

正多邊形的面積公式為：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}Pr}$

其中，${\displaystyle P}$是周長、${\displaystyle r}$是邊心距。正五邊形的${\displaystyle P}$和${\displaystyle r}$可由三角函數計算：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\times 5t\times {\frac {t\tan(54^{\circ })}{2}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}}$

其中，${\displaystyle t}$是正五邊形的邊長。

內切圓半徑

正五邊形是一個圓外切多邊形，因此有內切圓。其內切圓半徑與邊心距相同，並且可以尤其邊長來決定。

${\displaystyle r={\frac {t}{2\tan({\frac {\pi }{5}})}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t}$

其中，${\displaystyle r}$為內切圓半徑與邊心距相同、t為正五邊形邊長。

構造

里士滿提出了一個構造正五邊形的方法^[2]，並且在克倫威爾的《多面體》中被進一步討論。^[3]。

右上的圖顯示了里士滿繪製正五邊形的方法。先利用單位圓決定五邊形的半徑。${\displaystyle C}$為單位圓圓心，${\displaystyle M}$是圓${\displaystyle C}$半徑的中點。${\displaystyle D}$是位於垂直於${\displaystyle MC}$的另外一條半徑的圓周上。作${\displaystyle \angle CMD}$的角平分線，令${\displaystyle Q}$為${\displaystyle \angle CMD}$的角平分線與${\displaystyle CD}$的交點。作過${\displaystyle Q}$平行於${\displaystyle MC}$的直線，令之與圓${\displaystyle C}$相交的交點為${\displaystyle P}$，則${\displaystyle DP}$為正五邊形的邊長。

這條邊的長度可以利用圓下方的兩個直角三角形${\displaystyle DCM}$和${\displaystyle QCM}$。利用勾股定理，較大的三角形斜邊為${\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{2}}\scriptstyle }$。小三角形其中一股h可由半角公式求得：

${\displaystyle \tan({\frac {\phi }{2}})={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}$

其中，角${\displaystyle \phi }$可由大三角形求得，其值為：

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}$

由此可得到在下圖正五邊形的邊長的一些相關值。右側三角形的邊長${\displaystyle a}$可藉由再帶一次勾股定理得：

${\displaystyle a^{2}=1-h^{2}\ ;\ a={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\ .}$

欲求出五邊形邊長${\displaystyle s}$可透過左側的三角形，由勾股定理得：

${\displaystyle s^{2}=(1-h)^{2}+a^{2}=(1-h)^{2}+1-h^{2}=1-2h+h^{2}+1-h^{2}=2-2h=2-2\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\ }$

${\displaystyle ={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}\ .}$

使用圓規與直尺建構出正五邊形。

五邊形邊長${\displaystyle s}$為：

${\displaystyle s={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ ,}$

得到了正確的結果^[4]因此此種構造正五邊形的方法是有效的。

約西元前300年，歐幾里得在他的《幾何原本》中描述了一個用直尺和圓規做出正五邊形的過程。

物理方法

打一個反手結的長條紙張

正五邊形可以藉由嘗試在一張長條紙張上打一個反手結，並將多出來的部分向後折來構造。這種折法被用在摺紙星星上。