正則化無網格法

正則化無網格法（Regularized Meshless Method），也叫奇異無網格法或去奇異無網格法，是為解決一些基本解已知的偏微分方程而提出的邊界型無網格法。該方法是一種強式配點法，具有不需要劃分網格、不需要積分、編程簡單、穩定性好等優點。到目前為止，正則化無網格法已經被成功應用於諸如勢問題、聲學問題、水波問題、反問題等典型問題。

方法描述

正則化無網格法將位勢理論中的雙層勢作為基函數/核函數。通過與基本解法^{[1] [2]}（Method of Fundamental Solutions）進行對比可知：它們的近似解都是由不同源點基函數的線性組合來表示；不同之處在於正則化無網格法將源點設置在物理邊界上與配點重合，從而可以很好地解決基本解方法需設置虛擬邊界的問題。

當源點與配點重合時，雙層核函數在會出現奇異性，正則化無網格方法中利用先減後加的正則化技術^[3]（subtracting and adding-back regularizing technique）解決了這一問題。

發展史和最新進展

目前，在很多工程和科學領域中，有限元法（Finite Element Method）、有限差分法（Finite Difference Method）、有限體積法（Finite Volume Method）和邊界元法（Boundary Element Method）仍是主要的數值方法。由於這些方法在處理高維移動問題或者是複雜幾何域問題時，將面臨網格劃分難，網格重構費時等困難，因此網格生成對於上述問題而言是一個很有挑戰性的問題。

邊界元法由於它的半解析特徵和只在邊界離散的特點，有效緩解了這一缺陷。儘管如此，邊界元法依然需要複雜的數學技巧去處理奇異積分。此外，在三維域的表面網格劃分方面，仍然十分艱難。在過去的幾十年裡，為了克服這些難題，已經做了大量的工作，很多無需劃分網格的邊界配點無網格方法相繼被提出。在這些方法中，基本解法由於編程容易、數學描述簡單、精度高和快速收斂等優點而最受歡迎。

在基本解中，為了避免基本解的奇異性，需要在問題域的物理邊界外人為設置虛擬邊界。對於最優虛擬邊界的位置的選擇，仍然存在一些困難。為了解決這個棘手的問題，很多新方法相繼被提出來，包括：邊界節點法^{[4] [5]}（Boundary Knot Method），正則化無網格法^[3] (Regularized Meshless Method)，修正基本解法^[6](Modified method of fundamental solutions)和奇異邊界法^[7] (Singular Boundary Method)等。

2005年Young和他的合作者首次提出了正則化無網格方法。此方法的關鍵創新點在於引入先減後加的正則化技術去除了雙層勢核函數的源點奇異性，從而可以直接將源點設在實際物理邊界上。到目前為止，正則化無網格法已經成功應用於大量物理問題，例如勢問題^[3]、外域聲學問題^[8]、壓電反平面問題^[9]、多連通區域的聲學特徵值問題^[10]、反問題^[11]、泊松方程^[12]和水波問題 ^[13]等。此外，為了提升RMM方法的通用性和計算效率，一些學者提出了一些改進的方法，如，針對不規則區域問題而提出加權正則無網格法^[14]，針對二維拉普拉斯問題而提出解析正則化無網格法^[15].。

參閱

• 徑向基函數
• 邊界元法
• 基本解法
• 邊界節點法
• 邊界粒子法
• 奇異邊界法