正數

正數，在數學上是指大於0的實數，如1、3.7,1.5等，與負數相對。和實數一樣，正數也是一個不可數的無限集合。這個集合在數學上通常用粗體R⁺或ℝ⁺來表示。正數與0統稱非負數。

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

正數的歷史

在《九章算術》（約於公元前100年）首次出現了負數概念：方程章為了配合方程術的算法，給出正負數的加、減法則。此時， 「正數」作為一個明確的數學概念誕生了，但其身份是與「負數」作為一對矛盾體共同確立的。

笛卡爾的坐標系（1637年）笛卡爾創立的解析幾何，將數與點一一對應起來：他規定了一條有原點、有方向的直線（數軸），原點右側的點對應正數，原點左側的點對應負數。從此，正數不再是抽象的符號，而是數軸上實實在在的一段長度（從原點向右）。這極大地促進了整個數學界對正數（和負數）的完全接受。

皮亞諾公理（19世紀）：義大利數學家皮亞諾提出了關於自然數的五條公理，從邏輯上嚴格地定義了什麼是「1」，什麼是「後繼」，從而構建了整個算術體系的基礎。自然數就是最基本的正數。此時， 正數通過公理化和集合論，建立了嚴格的邏輯基礎。

符號函數

在實數上可以定義這樣一個函數${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$，它對正數取值為 1，負數取值為 −1，0 取值為 0。這個函數通常被稱為符號函數：

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.}$

當${\displaystyle x}$不為 0 時，則有：

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}={\frac {d{|x|}}{d{x}}}=2H(x)-1.}$

這裡，${\displaystyle \left\vert x\right\vert }$為${\displaystyle x}$的絕對值，${\displaystyle H(x)}$為單位階躍函數。請參見導數。

參見

• 實數
• 超實數
• 正整數

參考註釋