波形因數

波形因數（英文：Form factor）是交流訊號中的一個無因次量，可以用${\displaystyle k_{f}}$來表示，是訊號的均方根值和整流平均值的比值^[1]。波形因數是相同功率的直流訊號和原交流訊號整流後平均值的比值^[2]。

計算

對於一個理想的，對時間T連續的函數，其均方根可以表示為以下的積分^[3]：

${\displaystyle X_{rms}={\sqrt {{1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}}$

而整流平均值為函數絕對值的平均^[3]：

${\displaystyle X_{arv}={1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt}}}$

兩者的比值即為波形因數${\displaystyle k_{f}}$。

${\displaystyle k_{f}={\frac {RMS}{ARV}}={\frac {\sqrt {{1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}{{1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt}}}}={\frac {\sqrt {T\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{{[f(t)]}^{2}\,dt}}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt}}}}$

應用

數位式的交流量測設備一般是針對弦波而設計的，例如許多交流電表會特別針對弦波的均方根值來進行調整。由於很難利用數位方式計算一訊號的均方根值，一般會改為計算弦波訊號的整流平均值，然後再乘以弦波的波形因數。不過若利用此方法計算其他波形的均方根值，會得到較不精確的結果^[4]。

性質

波形因數是訊號的均方根值和整流平均值的比值，因此二個值之間類似及不同的性質決定了波形因數的性質。

例如均方根值和整流平均值都和振幅${\displaystyle a}$成正比，不過波形因數是二者相除，因此不受振幅的影響。一個特定的波形，若不失真的放大或縮小N倍，其波形因數不變。

均方根值計算時會用到訊號的平方，而整流平均值會用到訊號的絕對值，二者都不受正負號的影響。因此波形因數也不受正負號的影響，一個平均值為零的方波和其整流後的訊號，其波形因數相等。

波形因數是訊號的均方根值和整流平均值的比值，此外還有二個類似定義的因數：

• 峰值因數：${\displaystyle k_{a}={\frac {X_{max}}{X_{rms}}}}$，最大值和均方根值的比值。
• 平均因數：${\displaystyle k_{av}={\frac {X_{max}}{X_{arv}}}}$，最大值和整流平均值的比值，較少用到。

波形因數是三個因數中最小的一個：

${\displaystyle k_{av}\geq k_{a}\geq k_{f}}$^[2]

由於他們的定義都和最大值、均方根值和整流平均值有關，三個因數間有以下的關係：

${\displaystyle k_{av}=k_{a}k_{f}}$,^[2]

因此也可以用峰值因數和平均因數來表示波形因數：

${\displaystyle k_{f}={\frac {k_{av}}{k_{a}}}}$.

特定波形的波形因數

若用${\displaystyle a}$表示波形的振幅，由於均方根值和整流平均值都和振幅成正比，二者對波形因數的影響恰好互相抵消，因此波形因數和振幅無關。像${\displaystyle 8sin(t)}$和${\displaystyle sin(t)}$的波形因數相等，因此可以用正規化，振幅為1的波形來計算波形因數。

波形	波形圖	RMS	ARV	波形因數
弦波		${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$[2]	${\displaystyle a{\frac {2}{\pi }}}$[2]	${\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\approx 1.11072073}$[3]
半波整流的弦波		${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {a}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\approx 1.5707963}$
全波整流的弦波		${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle a{\frac {2}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}}$
方波（占空比50%）		${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle {\frac {a}{a}}=1}$
脈波		${\displaystyle a{\sqrt {D}}}$[5]	${\displaystyle aD}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {D}}}={\sqrt {\frac {T}{\tau }}}}$
三角波		${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3}}}}$[5]	${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 1.15470054}$
鋸齒波		${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}}$
白雜訊 U(-1,1)		${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}}$

相關條目

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