海涅-康托爾定理

海涅-康托爾定理，以愛德華·海涅和喬治·康托爾命名，說明如果M是一個緊緻度量空間，N是一個度量空間，則每一個連續函數

f : M → N,

都是均勻連續的。

特別地，如果f : [a,b] → R是一個連續函數，則它是一致連續的。

證明 1

假設f在緊度量空間M上連續，但不一致連續，則以下命題

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0}$，使得對於所有M內的x和y，都有${\displaystyle d(x,y)<\delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\varepsilon }$

的否定是：

${\displaystyle \exists \varepsilon _{0}>0}$，使得${\displaystyle \forall \delta >0,\ \exists x,y\in M}$，使得${\displaystyle \ d(x,y)<\delta }$，且${\displaystyle \rho (f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}}$。

其中d和${\displaystyle \rho }$分別是度量空間M和N上的距離函數。

選擇兩個序列x_n和y_n，使得：

${\displaystyle d(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}}$，且${\displaystyle \rho (f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}}$ (*)

由於度量空間是緊緻的，根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理，序列x_n存在一個收斂的子序列${\displaystyle x_{n_{k}}}$，而${\displaystyle d(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\to 0}$，故${\displaystyle x_{n_{k}}}$和${\displaystyle y_{n_{k}}}$收斂於相同的點。又因為f是連續的，所以${\displaystyle f(x_{n_{k}})}$和${\displaystyle f(y_{n_{k}})}$收斂於相同的點，與(*)式矛盾。

證明 2

^[1] 設 f 是從一個緊度量空間 (M,d_M) 到一個度量空間 (N,d_N) 的連續函數，欲證明 f 是一致連續的。

設給定了 ${\displaystyle \varepsilon >0}$, 於是對 ${\displaystyle M}$ 中的每一個點 ${\displaystyle a}$ 都存在一個與 ${\displaystyle a}$ 有關的 ${\displaystyle \delta }$, 使得

${\displaystyle d_{N}(f(x),f(a))<{\frac {\varepsilon }{2}},\forall x\in B_{M}(a;\delta ){\text{. }}}$

考慮由半徑為 ${\displaystyle \delta /2}$ 的球 ${\displaystyle B_{M}(a;\delta /2)}$ 構成的集族, 這族球覆蓋 ${\displaystyle M}$, 而且因為 ${\displaystyle M}$ 是緊的, 所以這些球中有有限個也覆蓋 ${\displaystyle M}$, 比方說

${\displaystyle M=\bigcup _{k=1}^{m}B_{M}\left(a_{k};{\frac {r_{k}}{2}}\right)\qquad {\text{(*)}}}$

在任何一個兩倍半徑的球 ${\displaystyle B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right)}$ 中, 我們有

${\displaystyle d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}},\forall x\in B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right){\text{. }}}$

設 ${\displaystyle \delta =\min(r_{1}/2,\cdots ,r_{m}/2)}$, 欲證明這個 ${\displaystyle \delta }$ 滿足一致連續性定義中的要求.

對 ${\displaystyle M}$ 中的兩個點 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 滿足條件 ${\displaystyle d_{M}(x,y)<\delta }$, 由 ${\displaystyle {\text{(*)}}}$, 有某個球 ${\displaystyle B_{M}\left(a_{k};r_{k}/2\right)}$ 包含 ${\displaystyle x}$, 所以

${\displaystyle d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}.}$

由三角不等式可得

${\displaystyle d_{M}\left(y,a_{k}\right)\leqslant d_{M}(y,x)+d_{M}\left(x,a_{k}\right)<\delta +{\frac {r_{k}}{2}}\leqslant {\frac {r_{k}}{2}}+{\frac {r_{k}}{2}}=r_{k}.}$

因而, ${\displaystyle y\in B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right)}$, 所以也有 ${\displaystyle d_{N}\left(f(y),f\left(a_{k}\right)\right)<\varepsilon /2}$. 再次使用三角不等式就可以發現

${\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))\leqslant d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)+d_{N}\left(f\left(a_{k}\right),f(y)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon {\text{.}}}$