焦散線

微分幾何中，焦散線（caustic）指由流形反射或折射的射線的包絡線。這與幾何光學中的焦散現象有關。射線的來源可以是點（輻射點，radiant）或來自無窮遠處某點的平行射線，這時要指定射線的方向向量。

由圓和平行光線生成的反射焦散線。在一邊，每個點都包含在3條射線中；另一邊，每個點都包含在1條射線中。

一般來說，應用於辛幾何與奇點理論中的焦散線指拉格朗日映射${\displaystyle (\pi \circ i):\ L\hookrightarrow M\twoheadrightarrow B}$的臨界值集，其中${\displaystyle i:\ L\hookrightarrow M}$是拉格朗日子流形L到辛流形M的拉格朗日浸入，${\displaystyle \pi :\ M\twoheadrightarrow B}$是辛流形M的拉格朗日纖維化。焦散是拉格朗日纖維化基空間B的子集。^[1]

解釋

射線經過非平面折射後，在許多光線交叉的地方會形成焦散線。

集中的光線（如陽光）會灼傷人。「焦散」（caustic）一詞來自希臘語καυστός「燒焦」，途經拉丁語causticus「燃燒」。

光線照射在酒杯上時，就會出現焦散現象。玻璃杯會投射出陰影，也會產生彎曲的亮區。在理想情況下（包括平行光射入時）會產生腎形光斑。^[2][3]光線穿過波浪照射在水體上時，通常會形成波紋狀的焦散線。

彩虹是人們熟悉的另一種焦散現象。^[4][5]雨滴對光的散射會使不同波長的光折射成半徑不同的弧線，從而產生彩虹。

回光線

回光線（catacaustic）是反射的情形。

對於點光源，它是輻射點正交（orthotomic）的漸屈線。

平面平行光源情況：假設方向向量是${\displaystyle (a,b)}$，鏡面曲線參數化為${\displaystyle (u(t),v(t))}$。某點的法向量為${\displaystyle (-v'(t),u'(t))}$；方向向量的反射為（法向量需要特殊歸一化處理）

${\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}}$

將找到的反射向量的分量視作切線

${\displaystyle (x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).}$

使用最簡單的包絡線形式

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})}$

${\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')}$

${\displaystyle +b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')}$

這可能不美觀，但${\displaystyle F=F_{t}=0}$給出了${\displaystyle (x,y)}$中的線性系統，因此獲得回光線的參數是很簡單的，用克萊姆法則就可以。

例子

令方向向量為(0,1)，鏡面為${\displaystyle (t,t^{2}).}$ 則

${\displaystyle u'=1}$   ${\displaystyle u''=0}$   ${\displaystyle v'=2t}$   ${\displaystyle v''=2}$   ${\displaystyle a=0}$   ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1}$

且${\displaystyle F=F_{t}=0}$有解${\displaystyle (0,1/4)}$；即光線平行於拋物鏡面的軸線進入，會通過焦點反射。

另見

• 腎形線