焦散 (光學)

光學中，焦散現象（caustic^[1]）是被彎曲的面或物體反射或折射後，出現光線的包絡，或包絡在另一面上的射影。^[2]焦散現象會形成焦散線或焦散面，每條光線都與之相切。^[2]如右圖所示，可見明顯的焦散線。這些形狀通常有尖點。

茶杯底部的腎形焦散線

水面造成的焦散線

淺水中的焦散線

裝滿水的玻璃杯產生的焦散現象

解釋

射線經過非平面折射後，在許多光線交叉的地方會形成焦散線。

集中的光線（如陽光）會灼傷人。「焦散」（caustic）一詞來自希臘語καυστός「燒焦」，途經拉丁語causticus「燃燒」。

光線照射在酒杯上時，就會出現焦散現象。玻璃杯會投射出陰影，也會產生彎曲的亮區。在理想情況下（包括平行光射入時）會產生腎形光斑。^[3][4]光線穿過波浪照射在水體上時，通常會形成波紋狀的焦散線。

彩虹是人們熟悉的另一種焦散現象。^[5][6]雨滴對光的散射會使不同波長的光折射成半徑不同的弧線，從而產生彩虹。

計算機製圖

計算機圖形學中，大多數現代渲染系統都支持焦散效果，其中有些甚至還支持立體焦散。這是通過光線追蹤光束的可能路徑，並考慮折射與反射實現的；光子映射是其中一種實現方式。立體焦散也可以由體積路徑跟蹤實現。一些計算機圖形系統採用「正向光追」技術，將光子模擬為來自光源，按照規則在環境中反彈。在有足夠光子照射到表面的區域，就會形成焦散，使其比平均區域更亮。「反向光追」則是以相反方式工作，從表面開始，確定是否有通向光源的路徑。^[7]這裡 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）可見一些三維光追焦散的例子。

大多數計算機圖形系統的重點在美學而非物理上精確，這在電腦遊戲的實時渲染中尤為明顯^[8]，遊戲中大多使用預先算好的材質。

焦散工程

焦散工程描述的是解決計算機圖形學中逆問題的過程。即，在給定圖像的前提下，確定折射或反射光形成圖像的表面。

在這問題的離散版本中，表面會被分為若干微表面，假定是光滑的，即每片微表面反射/折射的光線形成高斯焦散。這意味著，每個微表面都服從高斯分布。每塊微表面的位置與方向由泊松積分與模擬退火相結合的方法得到。^[9]

解決連續問題的方法多種多樣，如利用運輸理論中所謂最優運輸（optimal transport）的思想^[10]尋找入射光與目標表面之間的映射。獲得這種映射後，利用斯涅爾定律反覆調整，從而優化表面。^[11][12]

基於最優運輸的焦散圖案設計

基本原理

控制焦散圖案是相當具有挑戰性的問題，因為表面的微小變化會嚴重影響圖案質量：光線方向在與材料反射/折射時可能會受到其他光線的干擾。這將導致圖案離散、不連續。為了解決這個問題，基於最優運輸的方法是現有的建議方法之一，它可以在光線穿過某種透明材料表面傳播時改變光線方向，從而控制焦散圖案。^[13][14]給定物體/圖案的參考圖像，目標是描述光線折射通過的材料表面，並匯聚到參考圖像的類似圖案。具體方法是重新排列/重新計算初始光強，直到得到優化問題的最小值。

設計管線

這裡進考慮折射焦散，對象可按如下方式確定（不同輸出的反射焦散也有類似原理）：

輸入: 給定光源位置，燈光通過材料傳播後獲得的圖案圖像。

輸出: 接收面（平坦的固體表面，例如：地板、牆壁等）上的焦散圖形。

為實現目標圖案，須將光線射向外部環境的表面加工成一定形狀，以便在另一面實現所需的圖案。

如上述，在輸入圖像的情況下，該過程將產生類似的焦散圖案作為輸出。原則上，有兩個核心階段，又分成兩個子階段：

• 

  基於最優運輸的焦散設計

  解最優運輸問題
  1. 計算目標光分布
  2. 計算從初始分布到目標分布的映射
• 優化目標表面
  1. 計算表面的法線表示
  2. 表面細化

解最優運輸問題

在透明表面發生折射的情況下，例如在清澈水面下出現的圖案，可以觀察到3種主要現象：

• 非常亮（凝聚光強）的點（所謂奇點）
• 連接各點的曲線狀對象
• 光強度較低的區域

未進行計算，我們引入以下3個量來描述圖案的幾何特徵：點奇異性${\displaystyle \Phi _{p}}$（度量某些高度集中的點的光強）、線奇異性${\displaystyle \Phi _{c}}$（度量某些較亮曲線附近的光強）、輻照度${\displaystyle \Phi _{I}}$（測量某個光照不集中區域的強度）。把它們放在一起，下面的函數就定義了目標表面上某一部分Ω的總輻射功率${\displaystyle \Phi _{T}}$：

${\displaystyle \Phi _{T}(\Omega )=\textstyle \sum _{i=1}^{N_{\delta }}\Phi _{p}^{i}(\Omega )+\sum _{j=1}^{N_{\gamma }}\Phi _{c}^{j}(\Omega )+\Phi _{I}(\Omega )\displaystyle }$

這步之後，就有了兩個輻射通量測量值，分別是輻射源${\displaystyle \Phi _{S}}$（由初始化均勻分布）與目標${\displaystyle \Phi _{T}}$（上一步計算）。剩下要計算的是從源到目標的映射。為此要先定義幾個量，首先是兩個由概率取值的光強：${\displaystyle \mu _{S}}$（用${\displaystyle \Phi _{S}}$除以${\displaystyle \Phi _{S},\ \Phi _{T}}$之間聯合區域的通量）、${\displaystyle \mu _{T}}$（用${\displaystyle \Phi _{T}}$除以${\displaystyle \Phi _{S},\ \Phi _{T}}$之間聯合區域的通量）。其次，由多個點${\displaystyle s_{i}\in (\Phi _{S}\cup \Phi _{T})}$生成原網格，之後再變形。接著，在這組點${\displaystyle s_{i}}$上定義power圖${\displaystyle P_{w}}$（一組power元${\displaystyle C_{i}^{w}}$），由權向量${\displaystyle \omega }$加權。最後，我們的目標是決定要移動哪些power元。考慮面上所有${\displaystyle x}$個頂點，找到以下凸函數的最小值${\displaystyle \omega _{min}}$，就可得到目標的匹配power圖：

${\displaystyle f(\omega )=\sum _{s_{i}\in S}(\omega _{i}.\mu _{S}(C_{i}^{0})-\int \limits _{C_{i}^{\omega }}(\|x-s_{i}\|^{2}-\omega _{i})d\mu _{T}(x))}$

優化目標面

計算過程

在解出最優運輸問題後，就得到了頂點。不過，這並沒有提供最終表面形狀的信息。給定入射光${\displaystyle d_{I}}$、出射光${\displaystyle d_{O}}$及上一步所得的power圖，根據斯涅爾定律可算出曲面法線：

${\displaystyle n=d_{I}+{\eta x \over \lVert d_{I}+\eta d_{T}\rVert }=d_{I}+{\eta x \over \lVert d_{I}+\eta {(x_{R}-x) \over ||x_{R}-x||}\rVert }}$

其中

${\displaystyle \eta }$：折射係數

${\displaystyle x_{R}}$：解上述最優運輸問題所得目標位置

得到法線表示後，通過最小化以下複合能量函數，實現表面細化：

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\omega \,\cdot [E_{int},\,E_{dir},\,E_{flux},\,E_{reg},\,E_{bar}]}$

其中

${\displaystyle E_{int}=\sum _{v\in M_{T}}\lVert n_{o}-n\rVert _{2}^{2}}$是將最優運輸所得頂點法線${\displaystyle n_{o}}$與斯涅爾定律計算所得目標法線${\displaystyle n}$對齊，所得的積分能量。

${\displaystyle E_{dir}=\sum _{v\in M_{T}}\lVert x-{\textbf {proj}}_{(x_{S},\,d_{I})}(x)\rVert _{2}^{2}}$：最優傳輸所得網格無法適應不連續面的尖點，這一項用於懲罰這種點，使其不會隨入射光發生顯著變化。

${\displaystyle E_{flux}=\sum _{t\in M_{T}}\lVert \Phi _{T}(t)-\Phi _{S}(t_{s})\rVert _{2}^{2}}$是經過網格中三角形${\displaystyle t}$的能量通量。

${\displaystyle E_{reg}=\lVert {\textbf {L}}{\textbf {X}}\rVert _{2}^{2}}$是使三角形形狀規則化、保持形狀良好的能量。

${\displaystyle E_{bar}=\sum _{v\in M_{T}}\lVert max(0,-log((1-n_{R}.(x-x_{R}))+d_{TH})\rVert ^{2}}$是屏障能量，用於確保曲面變形不會超過一定距離的閾值${\displaystyle d_{TH}}$。

可變逆渲染焦散圖樣設計

基本原理

逆圖形學是一種觀察圖像數據、推斷所有可能屬性（如三維幾何、光照、材料與運動）生成逼真圖像的方法。^[15]傳統計算機圖形學中，為使圖像具有理想的外觀和效果，要賦予圖像所有相關屬性/特徵，這可以說是前向方法；而在焦散設計中，物體（尤其材料表面）的性質並不平凡。給定約束條件就是要獲得的目標圖像。因此，目標是通過觀察、推斷目標圖像，以獲得其性質。這可以視作反向方法。

下面是基本損失函數，解釋了如何優化參數：

${\displaystyle L(c)=\lVert f(c)-I\rVert ^{2}}$

其中

${\displaystyle L(c)}$：損失函數，渲染圖像與目標的均方誤差

c：包含可能影響生成圖像的元素

I：目標圖像

管線設計

可變逆渲染焦散設計

首先，設計目標圖案並計算前向傳遞，得到合成圖樣。然後與目標圖案比較，得到損失。 這是讓合成圖案儘可能與目標圖案相似。然後進行反向傳播，以獲得焦散製造中所需的優化屬性。

生成圖像的元素

• 外觀（Appearance，${\displaystyle A}$）：像素表面外觀建模為MipMap紋理與像素亮度之積。
• 幾何（Vertices，${\displaystyle V}$）：假定三維場景由三角形近似，參數為頂點${\displaystyle V}$。
• 攝像機（Camera，${\displaystyle C}$）：焦距、視點、攝像機中心。

還可以有更多元素，如反照率、折射率之類。

一般可變框架

引入U為中間變量，表示2維投影的頂點坐標。這些屬性的梯度可從鏈式法則推導出：

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial V}}={\frac {\partial f}{\partial U}}\times {\frac {\partial U}{\partial V}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial V}}={\frac {\partial f}{\partial A}}\times {\frac {\partial A}{\partial V}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial C}}={\frac {\partial f}{\partial U}}\times {\frac {\partial U}{\partial C}}}$

應用隨機梯度下降後，可得最優的${\displaystyle A,\ V,\ C}$。隨後，這些量將用於雕刻或銑削材料，以生成目標圖案。

方法

一種常見方法是利用各種深度學習自動微分框架/庫（如TensorFlow、PyTorch、Theano）中執行微分運算的能力。

還有一種方法是用OpenDR^[16]框架建立前向圖形模型，並自動獲取模型參數的導數，以進行優化。在獲得優化屬性後，就可以生成目標圖像。OpenDR提供的局部優化方法可納入概率編程框架，可以解決焦散問題。

製造

設計與製造過程

計算設計出焦散圖樣後，處理過的數據將用作機械加工。

根據所需質量、製造所需工作量和可用的製造方法，可以用各種材料。

• 常見折射材料：壓克力、聚碳酸酯、聚乙烯、玻璃、鑽石
• 常見反射材料：鋼、鐵、鋁、金、銀、鈦、鎳

Architecture

焦散圖樣設計有很多應用，如

• 燈具
• 珠寶
• 建築
• 裝飾玻璃生產

另見

• 焦點
• 模糊圈
• 焦散 (數學)