真凸函數

在數學分析， 特別是凸分析與最優化中， 凸函數 f 在擴展實數線上的取值若滿足存在 x 使得

${\displaystyle f(x)<+\infty }$

同時對所有 x 滿足

${\displaystyle f(x)>-\infty }$

稱被稱作真凸函數。 這意味著，若凸函數為「真」， 則其有效域非空，值不為 ${\displaystyle -\infty }$.^[1]。

不滿足真條件的凸函數被稱作「非真凸函數」。^[2]

若函數 g 的負函數 ${\displaystyle f=-g}$ 為真凸函數， 則 g 為「真凹函數」。

性質

對於Rⁿ 上任意真凸函數f， 存在Rⁿ上的 b 與實數 β， 使得所有 x滿足

${\displaystyle f(x)\geq x\cdot b-\beta }$

兩個真凸函數的和未必保持真與凸的性質。舉例來說， 假設集合 ${\displaystyle A\subset X}$ 與 ${\displaystyle B\subset X}$ 均為向量空間 X 上的非空 凸集， 那麼特徵函數 ${\displaystyle I_{A}}$ 和 ${\displaystyle I_{B}}$ 為真凸函數， 但是當 ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ 時， ${\displaystyle I_{A}+I_{B}}$ 始終等於 ${\displaystyle +\infty }$.

兩個真凸函數的卷積下確界為凸函數， 但未必是真凸。^[3]