有效域

在數學的一個分支——凸分析中，有效域是對定義域的擴展。

定義

給定一個向量空間X，則一個映射到廣義實數域的凸函數 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ 的有效域 被定義為：

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X:f(x)<+\infty \}}$。^[1][2]

對於凹函數，其有效域為：

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X:f(x)>-\infty \}}$。^[1]

有效域的一個等價說法是上鏡圖的投影，即：

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X:\exists y\in \mathbb {R} :(x,y)\in \operatorname {epi} f\}}$。^[3]

注意，如果一個凸函數映射到一般的實數域，即 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$，則其有效域等價於一般的定義域。

函數 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ 被稱作是真凸函數，若且唯若f 是凸的, f的有效域非空，且對於任意 ${\displaystyle x\in X}$ 有 ${\displaystyle f(x)>-\infty }$。^[3]