矩陣的平方根

在數學中，矩陣的平方根是算術中的平方根概念的推廣。對一個矩陣A，如果矩陣B滿足

${\displaystyle B\cdot B=A}$

那麼矩陣B就是A的一個平方根。

計算

與算術中的平方根概念不同，矩陣的平方根不一定只有兩個。然而依照矩陣平方根的概念以及矩陣乘法的定義，只有方塊矩陣才有平方根。^[1]

對角化算法

如果矩陣的係數域是代數閉域，比如說複數域${\displaystyle \mathbb {C} }$的時候，對於一個對角矩陣，其平方根是很容易求得的。只需要將對角線上的每一個元素都換成它的平方根就可以了。這種思路可以推廣到一般的可對角化矩陣。一個所謂的可對角化矩陣A是指可以通過相似變換成為對角矩陣D的矩陣：

${\displaystyle \exists P,\quad A=PDP^{-1}}$

其中的矩陣P是可逆的矩陣。在這種情況之下，假設矩陣D的形式是：

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&\cdots &0\\0&d_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&0\\0&\cdots &0&0&d_{n}\end{bmatrix}}}$

那麼矩陣A的平方根就是：

${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=PD^{\frac {1}{2}}P^{-1}}$

其中的${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}}$是：

${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {d_{1}}}&0&0&\cdots &0\\0&{\sqrt {d_{2}}}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&{\sqrt {d_{n-1}}}&0\\0&\cdots &0&0&{\sqrt {d_{n}}}\end{bmatrix}}}$^[2]

丹曼-畢福斯迭代算法

另一種計算矩陣平方根的方法是丹曼-畢福斯迭代算法。在計算一個${\displaystyle n\times n}$矩陣A的平方根時，先設矩陣${\displaystyle Y_{0}=A}$，${\displaystyle Z_{0}=I_{n}}$（${\displaystyle I_{n}}$是${\displaystyle n\times n}$的單位矩陣）。然後用以下的迭代公式計算矩陣序列${\displaystyle \left(Y_{k}\right)_{k\geqslant 0}}$和${\displaystyle \left(Z_{k}\right)_{k\geqslant 0}}$：

${\displaystyle Y_{k+1}={\frac {Y_{k}+Z_{k}^{-1}}{2}}}$

${\displaystyle Z_{k+1}={\frac {Z_{k}+Y_{k}^{-1}}{2}}}$

這樣的兩個序列將會收斂到兩個矩陣${\displaystyle Y}$和${\displaystyle Z}$上。其中${\displaystyle Y}$將會是矩陣的平方根，而${\displaystyle Z}$將是${\displaystyle Y}$的逆矩陣。

參見

• 平方根分解
• 置換矩陣
• 正定矩陣