動差

動差^[1]（英語：moment, rectangle, oblong）又稱矩^[2][3]，其概念來自於物理學。在物理學中，矩用來表示物體形狀的物理量，為重要母數指標。在數學中，動差的概念是用來度量一組具有一定形態特點的點陣。舉個常用的例子，一個「二階動差」，我們在一維上可以測量它的「寬度」；而在更高階的維度上，由於其適用於橢球的空間分布，我們還可以對點的雲結構進行測量和描述。其他的動差用來描述諸如與均值的歪斜分布情況（偏態），或峰值的分布情況（峰態）等其他方面的分布特點。

定義

設隨機變數（或統計量，下同）${\displaystyle X}$的機率密度函數為${\displaystyle f(x)}$。

對於離散型隨機變數，在存在的前提下，其相對於值${\displaystyle c}$的${\displaystyle n}$階動差為：

${\displaystyle \mu _{n}=\sum \limits _{i=1}^{\infty }(x_{i}-c)^{n}P(x_{i})}$

對於連續型隨機變數，在存在的前提下，其相對於值${\displaystyle c}$的${\displaystyle n}$階動差為：

${\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,dx}$

特別地，當${\displaystyle c=0}$時稱之為原動差，當${\displaystyle c=E(X)}$時稱之為主動差。

期望值（Expectation）

隨機變數的期望值値定義為其1階原動差：

${\displaystyle E(x)=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx}$

在變異數等定義中，期望值也稱為隨機變數的「中心」。顯然，任何隨機變數的1階主動差為0。

變異數（Variance）

隨機變數的變異數定義為其2階主動差：

${\displaystyle \operatorname {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[x-E(x)\right]^{2}\,f(x)\,dx}$

偏態（Skewness）

隨機變數的偏態定義為其3階主動差：

${\displaystyle S(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{3}\,f(x)\,dx}$

峰態（Kurtosis）

隨機變數的峰態定義為其4階主動差：

${\displaystyle K(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{4}\,f(x)\,dx}$

樣本動差

動差常常通過樣本動差

${\displaystyle \mu '_{n}\approx {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{n}}$

來估計。此方法不需要先估計其機率分布。

參見

• 主動差
• 動差生成函數
• 力矩