主動差

在機率論或者統計學中，主動差（Central Moment，或稱中央動差，其中動差亦被稱作矩）是關於某一個隨機變數平均值構成隨機變數的機率分布的動差。主動差可以反應機率分布的特徵，由於高階主動差僅與分布的分布和形狀有關，而不與分布的位置有關，所以相比原動差使用更廣泛。

定義

對於一維隨機變數${\displaystyle X}$，其${\displaystyle k}$階主動差${\displaystyle \mu _{k}}$為相對於${\displaystyle X}$之期望值的${\displaystyle k}$階動差：

${\displaystyle \mu _{k}=\mathrm {E} [(X-\mathrm {E} [X])^{k}]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)dx}$

前幾階主動差具有較直觀的意義。

• 第0階主動差${\displaystyle \mu _{0}}$恆為1。
• 第1階主動差${\displaystyle \mu _{1}}$恆為0。
• 第2階主動差${\displaystyle \mu _{2}}$為${\displaystyle X}$的變異數${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$。
• 第3階主動差${\displaystyle \mu _{3}}$用於定義${\displaystyle X}$的偏度。
• 第4階主動差${\displaystyle \mu _{4}}$用於定義${\displaystyle X}$的峰度。

性質

• 主動差具有平移不變性。對於任意的隨機變數${\displaystyle X}$和任意常數${\displaystyle c}$，恆有：

${\displaystyle \mu _{n}(X+c)=\mu _{n}(X)}$

• n階主動差是n次齊次函數。

${\displaystyle \mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X)}$

• 只有當${\displaystyle n\in \{1,2,3\}}$，且${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$為兩個互相獨立的隨機變數時，主動差才具有加法性。

${\displaystyle \mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)}$

另一個與主動差類似，但在${\displaystyle n\geq 4}$時仍保有加法性的統計量為n階累積量${\displaystyle \kappa _{n}}$。